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1、回顾与展望,研究两个变量之间的关系：两个变量有关系吗？关系的强度是多少？一个定性变量和一个定量变量之间的关系：方差分析；两个定量变量之间的关系：相关与回归分析。,第五讲方差分析,一、方差分析的基本概术（一）方差分析及其有关术语（二）方差分析的基本思想和原理（三）方差分析的基本假定（四）问题的一般提法二、单因素方差分析,什么是方差分析(ANOVA)?(analysisofvariance),检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等研究分类型自变量对数值型因变量的影响一个或多个分类型自变量两个或多个(k个)处理水平或分类一个数值型因变量有单因素方差分析和双因素方差分析单因素
2、方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量,什么是方差分析?(例题分析),【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表,方差分析中的有关术语,因素或因子(factor)所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值,方差分析中的有关术语,试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验总体因素
3、的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,方差分析的基本思想和原理,二、方差分析的基本思想和原理(图形分析),从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近,方差分析的基本思想和原理(图形分析),仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间
4、有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理(误差平方和),数据的误差用平方和(sumofsquares)表示组内平方和(withingroups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和组内平方和只包含随机误差组间平方和(between
5、groups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的平方和比如，四个行业被投诉次数之间的误差平方和组间平方和既包括随机误差，也包括系统误差,方差分析的基本思想和原理(误差的比较),若原假设成立，组间平方和与组内平方和经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1若原假设不成立，组间平方和平均后的数值就会大于组内平方和平均后的数值，它们之间的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响,
6、方差分析的基本假定,每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立,方差分析中的基本假定,在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据
7、就越充分,方差分析中基本假定,如果原假设成立，即H0：m1=m2=m3=m4四个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体,X,f(X),1234,方差分析中基本假定,若备择假设成立，即H1：mi(i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的四个样本分别来自均值不同的四个正态总体,问题的一般提法,设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1,2,k表示要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：H0：12kH1：1,2,，k不全相等设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，4为家电制造业被投诉次
8、数的均值，提出的假设为H0：1234H1：1,2,3,4不全相等,单因素方差分析,数据结构分析步骤关系强度的测量用Excel进行方差分析,单因素方差分析的数据结构(one-wayanalysisofvariance),分析步骤提出假设构造检验统计量统计决策,提出假设,一般提法H0：m1=m2=mk自变量对因变量没有显著影响H1：m1，m2，mk不全相等自变量对因变量有显著影响注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等,构造检验的统计量,构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值误差平方和均方(MS),构造检验的统计量(计算水平的均值),假定从第i个总体
9、中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为,式中：ni为第i个总体的样本观察值个数xij为第i个总体的第j个观察值,构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值),全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为,构造检验的统计量(例题分析),构造检验的统计量(计算总误差平方和SST),全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况其计算公式为,前例的计算结果：SST=(57-47.869565)2+(58-47.869565)2=115.9295,构造检验的统计量(计算水平项平方和SSA),各组平均值与总平均值的离差平方和反映
10、各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和该平方和既包括随机误差，也包括系统误差计算公式为,前例的计算结果：SSA=1456.608696,构造检验的统计量(计算误差项平方和SSE),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内平方和该平方和反映的是随机误差的大小计算公式为,前例的计算结果：SSE=2708,构造检验的统计量(三个平方和的关系),总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系,SST=SSA+SSE,前例的计算结果：4164.608696=1456.608696+2708,构造检验的统计量
11、(F分布与拒绝域),如果均值相等，F=MSA/MSE1,统计决策,将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值F若FF，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF，则不能拒绝原假设H0，无证据支持表明所检验的因素对观察值有显著影响,单因素方差分析表(基本结构),单因素方差分析(例题分析),用Excel进行方差分析,用Excel进行方差分析(Excel检验步骤),第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在
12、分析工具中选择“单因素方差分析”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时在“输入区域”方框内键入数据单元格区域在方框内键入0.05（可根据需要确定）在“输出选项”中选择输出区域,用Excel进行方差分析,双因素方差分析(例题分析),【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量是否有影响，对每种品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05),数据结构,分析步骤(提出假设),提出假设对行因素提出的假设为H0：m1=m2=mi=mk(mi为第i个水平的均值)H1：mi(i=1,2,k)不全相等对列
13、因素提出的假设为H0：m1=m2=mj=mr(mj为第j个水平的均值)H1：mj(j=1,2,r)不全相等,双因素方差分析表(基本结构),双因素方差分析(例题分析),提出假设对品牌因素提出的假设为H0：m1=m2=m3=m4(品牌对销售量无显著影响)H1：mi(i=1,2,4)不全相等(有显著影响)对地区因素提出的假设为H0：m1=m2=m3=m4=m5(地区对销售量无显著影响)H1：mj(j=1,2,5)不全相等(有显著影响)用Excel进行无重复双因素分析,双因素方差分析(例题分析),结论：FR18.10777F3.4903，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响FC2.100846F3.2592，不拒绝原假设H0，无证据表明销售地区对彩电的销售量有显著影响,结束,THANKS,作业,P7846P8253P8761P18118,19P20313P20623P23111,
