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1、第三章线性方程组,学时：18学时。教学手段：课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结合，教师辅导答疑。基本内容和教学目的：基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本理论以及几何空间平面和直线的简单性质。教学目的：1使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关性理论，2熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条件及其线性方程组解的结构。本章的重点和难点：用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。,3.1消元法,对一般线性方程组,（1）,当m=n，且系数行列式,时，我们知方程组（1）有
2、唯一解，,其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当,时，我们也没有解,此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程,组（1）进行研究。在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组：,解方程组：把未知量系数和常数按原顺序写成下表,把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程,把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行,把第3个方程分别乘以（-1）、1加到第1、2个方程,分别把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行,在用
3、消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换：,用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上；用一个非零数乘一个方程的两边；互换两个方程的位置。,这三种变换总称为线性方程组的初等变换。,如果把方程组写成“数表”（矩阵）的形式,则解方程组就相当于对“数表”（矩阵）进行以下三种变换：,用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上；用一个非零数乘矩阵的某一行；,互换两行的位置。,这三种变换被称为矩阵的初等行变换。,从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它
4、的初等变换。,定义1（矩阵）：数域,上,个元素排成形如下数表,称为矩阵的,若,，则,称为矩阵A的,行列式，记为,注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。,定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换：,用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上；（消法变换）用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）,为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与原方程组同解。,证明：对第（1）种初等变换证明之。,由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程组的系数矩阵，记为A。由方程组
5、未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为,对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和常数项组成的矩阵,（称为增广矩阵）进行相应的初等变换，,因此由定理3.1.1，我们有,定理3.1.2:对线性方程组（1）的增广矩阵,进行行初等,变换化为,，则以,为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同,解。,由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？,定理3.1.3:一个,矩阵A，通过行初等变换及列换法,变换可化为一下阶梯形,这里,。更进一步，通过行初等变换，可化为,所谓阶梯形矩
6、阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。,证明：若A=0，则A已成阶梯形，,若,，则A至少有一个元素不为0，不妨设,，,（否则，设,，我们可经行、列变换，使,位于,左上角）。把第一行分别乘以,加到,第i行，则A化为,用,乘第一行得：,对,中的右下角矩阵,类似考虑，若其为0，,则结论成立；若其不为0，不妨设,，用,乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用,乘第二行得：,如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。,对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。,定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后
7、再研究。,定理3.1.4线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解,（2）,其中,是,的一个排列。,只要证明线性方程组（1）的增广矩阵,经一系列,行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩阵：,以,为增广矩阵的线性方程组就是（2）。,由定理3.1.3知，,中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法,变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C化为,若,中有一个不为零，不妨设,，否则可经行变换,换到第r+1行，然后对r+2，n行进行行消法变换，可使,。于是,就化为,由定理3.1.4可知：,1、当,时，方程组无解；,2、当,时，,若r=n，则方程组有唯一组解；,若rn时，则方
8、程组有无穷多解。,这时，把方程组（2）改写为：,给,一组值，就唯一定义出,的一组值从而得,方程组（1）的一个解。把,通过,表示出来，,这样得到的解称为方程组（1）的一般解，,称为,方程组的一组自由未知量。需要证明的是，在实际解线性方程组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他列互换，以及对列进行其他变换。,例3.1.2解方程组,解：,原方程组与方程组,同解。,故原方程的一般解是,，,是自由未知量。,例3.1.3解方程组,解,故原方程组无解。,3.2n维向量空间,一、向量空间的定义和例子,向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三维向量空间中的向量。在那里，两个向
9、量相加可以按平行四边形法则相加，若向量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量的定义。,定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的,有序数组：,其中,称为向量的第i个分量。,几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n4时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母,表示向量。有了向量，一个方程,就可以用一个n+1,元向量来表示：,向量的相等：如果两个n维向量,的对应分量都相等，即,，则,称这两个向量相等，记为,向
10、量的和：向量,称为向量,与,的和，,记为r=+。,零向量：分量全为零的n维向量：,称为零向量。,负向量：向量,称为向量,的负向,量，记为-。,向量的数量乘积：设,，则称向量,为向量与数k的数量乘积，,记为k。,向量的减法：-=+（-）。,向量的加法满足以下四条运算规律：,1、交换律：+=+；,向量的数乘满足以下四条运算规律：,1、分配律：；,2、分配律：；,3、结合律：；,4、有单位元：。,2、结合律：（+）+=+（+）；,3、有零元：+0=，；,4、有负元：+=0，。,如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。,定义3.2.2：F是
11、一个数域，V是以F中的数为分量的n维向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空间，记为。,由向量的加法和数乘可以推出以下性质:,1、；,2、；,3、；,4、若，则。,向量可以写成：,，,也可以写成：,前者称为行向量，后者称为列向量。,列向量常写成：,3.3线性相关性,向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在,中进行讨论。,一、向量组的线性关系,在解几中
12、，向量空间,中的任一个向量可由,和,中的一组数,表示出来，即有,。在一,般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述表达式的意义。,定义3.3.1：设,是,中的向量，若存在F中,，使,则称是向量组,的一个线性组合，或称向量可由,线性表出。,例3.3.1在,中，,可由,的线性组合。,例3.3.2在,中，任一向量,可由向量组,线性表示，,称为n维单位向量。,这回答了本段开头提出的问题，,在,它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？下面将给予回答。,中有重要的作用。,注1：零向量是任一向量组的线性组合。,定义3.3.2：对于,中r个向量,，若存在F中不全为,零的数,，使,，
13、则称,线性相关，否则称,线性无关，,（即不存在不全为零的数,，使,）。,例3.3.3判断向量,是否线性相关（若,两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。,注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。,注3：向量组,中有一个零向量，则,必线性相关。,例3.3.4判断向量组,是否线性相关。,解：设有,，使,于是得：,取,，则有,故,线性相关。,由此可得判断向量组,线性关系的一般步骤：,设,若能找到不全为零的,，使成立，则,线性相关；,若由只能推出,，则,线性相关。,更一般地，要判断,中向量组,是否线性相关，,只要判断齐次线性方程组,是否有非零解。,若有非零解，则,线性相关；若只有零
14、解，则,线性无关。,二、线性关系的简单性质,性质1：向量组,中的每一向量,都可以由这一,组向量线性表示。,性质2：如果向量r可由向量组,线性表示，而,每一个向量,又可由向量组,线性表示。,证：设,而,故,性质3：如果向量组,线性无关，则它的任一部,分组也线性无关。,性质,：如果向量组,有部分组线性相关，则,也线性相关。,性质4：设向量组,线性无关而向量组,线性相关，则一定可由,线性表示。,性质5：线性无关向量组,的同位延长向量组也线性无关。,证：设,线性无关，其延长向量组为：,因为线性无关，,所以,定理3.3.1：向量组,线性相关的,（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）,三、向量组的等价和
15、替换定理,定义3.3.3设向量组（）：,和向量组（）：,是向量空间,中的两个向量组，如果组（）,中的任一向量,都可由,线性表示，而组（）,的任一向量,也可由,则称这两个向量组等价。,例3.3.5向量组,与向量组,是否等价？,而,与,等价。,向量组的等价满足以下三个性质：,1、反身性：任何向量组均与自己等价；,2、对称性：若,与,等价，则,也与,等价；,3、传递性：若,与,等价，,与,具有以上三个性质的关系称之为等价关系。,定理3.3.2（替换定理）：设向量组（）：,线性无关，且每一,可由向量组（）：,线性表示，则,，且在适当调整向量组（）中向量的,次序后，可使向量组（）：,与向量组（）等价。,证明要点：（对向量组（）中的个数r使用归纳法）,当r=1时，,线性无关，,且,由于,，必存在某个,不妨设就是,，于是有,于是向量组,与向量组,等价。,假设当r=n-1时结论成立，即有,且在适当调整（）组中向量的次序后，,与组（）等价。,则当r=n时，考虑前n-1个向量，有归纳假设知，,且向量组（）,与组（）等价。,又,可被,线性表示，,可由向量组（）线性表示。,设,由于,线性无关，,必不全为零。,（否则得,矛盾），,不妨设,因此，向量组（）,与向量组（）,等价。,由归纳假设知（）与（）等价，故向量组（）与（）等价。,由于,故,由替换定理可得以下两个重要推论：,于是
