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1、2020/7/4,主要内容:,数学模型基础控制系统的微分方程控制系统的传递函数控制系统的结构图信号流图与梅逊公式,第2章控制系统的数学模型,2020/7/4,1.数学模型：用数学的方法和形式表示并描述系统中各物理量（或变量）的动态关系。,2.建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是定量分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可摆脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。,2.1数学模型基础,2020/7/4,3.建模方法,微分方程（或差分方程）（时域）传递函数（或结构图）（复域）频率特性（频域）状态空间表达式（或状态模型）,4.常用数学模型,
2、2020/7/4,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,2020/7/4,、根据系统情况，确定输入和输出量；、从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定律，列写出各元器件的动态方程，一般为微分方程组；、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；、微分方程标准化。,建立微分方程的一般步骤：,2020/7/4,2.2.1电气系统,由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等
3、于零。u=0基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零i=0,2020/7/4,2.2.1电气系统,例2-1：写出RLC串联电路的微分方程,将代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。,2020/7/4,例2-2：求理想运算放大器电路的微分方程,解：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：,整理后得，这是一阶系统。,2020/7/4,2.2.2机械系统,机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。,牛顿第二定律：,牛顿转动定律：
4、,2020/7/4,直线运动物体受到的摩擦力：,转动的物体受到的摩擦力矩：,FB为粘性摩擦力，Ff为恒值摩擦力，f为粘性阻尼系数。,TB为粘性摩擦力，Tf为恒值摩擦力，KC为粘性阻尼系数，为角位移。,2020/7/4,例2-3求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移y(t)。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。,2020/7/4,同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数
5、学模型。,相似系统：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例2-3为力电荷相似系统。,2020/7/4,思考题：给出双RC电路的微分方程,解答,2020/7/4,连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）。,S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。,S平面,2.2.3拉普拉斯变换,2020/7/4,定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式：,将一个时间域的函数变换到s域的复变函数，式中s为复数。,记作,F(s)-象函数，f(t)-原函数,为反拉
6、氏变换,记,2020/7/4,线性性质：,积分定理：（设初值为零）,性质：,(2)微分定理：,证明,2020/7/4,终值定理：,卷积定理：,初值定理：,位移定理：,实域中的位移定理，当原函数沿时间轴平移T，相应于其象函数乘以,复域中的位移定理，当像函数的自变量s位移a时，相应于原函数乘以,2020/7/4,常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。,2020/7/4,研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况经典法，拉氏变换法和数字求解在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换求微分方程解的步骤：对微分
7、方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。,2.2.4线性方程的求解,2020/7/4,例2-4已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t),解：,零初始条件下取拉氏变换：,2020/7/4,2.3传递函数,2.3.1传递函数的定义在，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式Y(s)与输入信号的拉氏变换式X(s)之比。,一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。,初始条件为零时,2020/7/4,例2-5求下图的传递函数：
8、,进行拉氏变换,2020/7/4,整理得：,2020/7/4,传递函数的性质,适用于线性定常系统与线性常系数微分方程一一对应与系统的动态特性一一对应。不能反映系统或元件的学科属性和物理性质物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。忽略了初始条件的影响。,2020/7/4,传递函数的性质,仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关只反映了输入和输出之间的关系不反映中间变量的关系。主要适用于单输入单输出系统若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。是复变量s的有理分式，对实际系统，传递函
9、数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，此时称为n阶系统。,2020/7/4,传递函数的几种表达形式：,有理分式形式：,式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。,2020/7/4,零点、极点形式：,式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。零点、极点可为实数，也可为共轭复数。,传递系数,2020/7/4,零、极点分布图,零点，在s平面上用“O”表示极点，在s平面上用“”表示,例,2020/7/4,例2-6:已知传递函数,试画出系统的零、极点分布图。,其中，零点为，极点为，j，j。,S平面,2020/7/4,时间常数形式：,2020/7/4,称为时间常数，K称为放
10、大系数。,显然：，,若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：,或,其系数由或求得；,2020/7/4,例2-7：将传递函数，用时间常数形式表示，并求出。,由此，可得,解：,2020/7/4,2.3.2典型环节及其传递函数,环节：组成一个复杂的控制系统的若干元部件构成基本环节（典型环节）：从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节常见典型基本环节比例积分惯性振荡微分延迟环节,2020/7/4,K为放大系数实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,（一）比例环节（放大环节）：,时域方程：,传递函数：,2020/7/4,比例环节实例：,电位器,2020
11、/7/4,（二）惯性环节（非周期环节）,时域方程：,传递函数：,T为惯性环节的时间常数，若，该环节就变成了放大环节。,2020/7/4,R,拉氏变换得：,2020/7/4,其中T=RC,拉氏变换得：,2020/7/4,（三）积分环节：,时域方程：,传递函数：,2020/7/4,积分环节实例：,2020/7/4,（四）振荡环节：,传递函数：,时域方程：,为该环节的时间常数，称为无阻尼自振角频率，而且，称为阻尼比。只有当时，该环节才能称为振荡环节，因为这时它的输出信号具有振荡的形式。,2020/7/4,如果时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节串联。,传递函数有两个实数极点：,可得,2020/7
12、/4,（五）微分环节：包括纯微分，一阶微分和二阶微分环节，对应时域形式：,相应的传递函数为：,微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若）在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节,2020/7/4,一阶微分环节,一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节。,2020/7/4,（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号，如图所示。,动态方程：,其传递函数为：,2020/7/4,（七）其他环节：还有一些环节如等，它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的，称为不稳定
13、环节。,2020/7/4,例2-8：已知传递函数，分析其组成环节。,因此，该系统由4个环节，比例，惯性，振荡，和一阶微分环节构成。,2020/7/4,2.3.3电气网络的运算阻抗与传递函数,求取传递函数步骤列写微分方程式进行拉氏变换对于电气网络：采用电路理论中的运算阻抗的方法，直接求出相应的传递函数。,2020/7/4,2.3.3电气网络的运算阻抗与传递函数,电阻的运算阻抗：,电容的运算阻抗：,电感的运算阻抗：,各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。,2020/7/4,例2-9、求RC及CR电路的传递函数,2020/7/4,例2-10、求如图所示无源网络的传递函数,并联阻抗,则,2020
14、/7/4,思考题：用运算阻抗的方法求出下面双RC网络的传递函数。,2020/7/4,2.4方块图和传递函数,方块图是用元件（或子系统）传递函数的组合来表示系统的一种图形。方块图由函数方块、信号线、相加点、分支点等构成。函数方块（方框）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。信号线：表示信号传递通路与方向。相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加，“”表示相减。分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。,2020/7/4,例：某系统的各传递函数如下：C(s)=G(s)E(s)F(s)=H(s)C(s)E(s)=R(
15、s)F(s),2020/7/4,绘制方块图的根据是系统各环节的动态微分方程式（它们组成系统的动态微分方程组），及其拉氏变换。整理方程组的方法：每个方程式左边只有一个量以系统输出量作为第一个方程左边的量从第二个方程开始，每个方程左边的量为前面方程右边的中间变量输入量至少出现在一个方程的右边；除输入量外，在方程右边出现的中间变量一定要在某个方程的左边出现列写方程尽量用已出现的量,2020/7/4,例2-11绘出RC电路的结构图,绘图详解,2020/7/4,例2-12绘出图示双RC网络的结构图。,解：列写系统方程式，可得：,2020/7/4,2020/7/4,动画演示,2020/7/4,二、方块图的
16、变换：,定义：用方块图求系统的传递函数时，对其进行的简化。类型：环节的合并；-串联-并联-反馈连接信号分支点或相加点的移动。原则：变换前后环节的输入量、输出量及其数学关系都保持不变。,2020/7/4,串联环节的简化：,2020/7/4,并联环节的简化：,2020/7/4,反馈回路的简化：,前向通道传递函数：G(s)反馈通道传递函数：H(s)正反馈负反馈闭环传递函数开环传递函数,闭环传递函数推导过程,2020/7/4,例,2020/7/4,2020/7/4,信号相加点和分支点的移动和互换,信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端（相加点的后移）,2020/7/4,把相加点从环节的输出端移到输入端（相加点的前移）：,2020/7/4,相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；,2020/7/4,信号分支点的移动：分支点从环节的输入端移到输出端(分支点的后移),2020/7/4,分支点从环节的输出端移到输入端(分支点的前移)：,2020/7/4,相加点和分支点在一般情况下，不进行互换。,同一信号
