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1、同济大学数学系2009-3-22,第2章内积空间,2.1实内积空间,定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，,2,若a,bV,存在唯一的rR与之对应，,记作(a,b)=r,并且满足,(1)(a,b)=(b,a),(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0a=0,则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,3,定义内积,例.线性空间,称为内积空间的标准内积。,4,定义内积,A为n阶实正定矩阵，,例.线性空间,6,由定义知,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a
2、,g),(6)(a,kb)=k(a,b),向量长度,定义.设V为实内积空间，称为向量a的长度，,记作|a|。,定理.设V是实内积空间，a,bV,kR，则,等号成立当且仅当a,b线性相关；,Cauchy-Schwarz不等式,三角不等式,正定性,齐次性,7,8,Cauchy-Schwaz的两种特殊形式,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,9,向量的正交,定义.设V是实内积空间，a,bV,若(a,b)=0,则称a与b正交，记作ab。,a与b正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,10,2.2欧氏空间的正交基,若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,
3、11,12,且其中每个向量的长度都是1，,注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,Gram-Schmidt正交化过程,Gram-Schmidt正交化过程：,13,14,令,14,由归纳法假设可知,15,几个定理和推论,定理1：n维实内积空间V必存在标准正交基。,推论1：n维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成,V的一个正交基。,16,几个定理和推论,17,题型,2.4正交补,定义:设W,U是实内积空间V的子空间，,(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;,(2)若aW,bU,都有(a,b)=0,则称W与U正交，记作WU;,(3)若WU，
4、并且W+U=V,则称U为W的正交补。,注意：若WU，则W与U的和必是直和。,19,正交补的存在唯一性,定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补,存在且唯一，记该正交补为，并且,20,定理:设W是实内积空间V的有限维子空间，则,向量的正投影,定义:设W是实内积空间V的子空间，,则称向量b为向量a在W上的正投影，,称向量长度|g|为向量a到W的距离。,垂线最短定理,定理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W,上的正投影，则dW,有,并且等号成立当且仅当b=d。,最小二乘法,（1）,可能无解，即任意都可能使,（2）,不等于零，设法找实数组使（2）最小,这样的为方程组（1）的最小二乘解，
5、,此问题叫最小二乘法问题.,1.问题提出，实系数线性方程组,2.问题的解决,设,（3）,用距离的概念，（2）就是,由（3）知,找使（2）最小，等价于找子空间,中向量使到它的距离比到,中其它向量的距离都短.,设为此必,这等价于,（4）,即,这样（4）等价于或,（5）,例题,2.5正交变换,定义:设T是实内积空间V的线性变换，若a,V有,则称T为V的正交变换。,正交变换的特征刻画,定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，,则下列命题等价，,29,推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；,(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。,Householder变换,构造的正交变换,讨论正交变换H的几何意
6、义。,故H(a)是a关于子空间的反射，,矩阵H称为Householder矩阵，,变换H称为Householder变换，,变换H也称初等反射变换。,2.6复内积空间,定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，,32,若a,bV,存在唯一的cC与之对应，,记作(a,b)=c,并且满足,(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0a=0,则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,33,定义内积,例.线性空间,称为复内积空间的标准内积。,34,在复内积空间中还有,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(8)Cauchy-Schwaz不等式,且(a,b)=0a与b正交,(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,设T是复内积空间V的线性变换，若a,V有,则称T为V的酉变换。,定理:设T是复内积空间V的线性变换，a,bV，,则下列命题等价，,2.7正规变换与正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。,定义3：设A,B是复方阵，若存在酉矩阵U，使,则称A与B酉相似。,定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。,定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是,A是正规阵。,推论：实对称阵必与对角阵相似的。,
