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1、1导数的概念2求导法则3参变量函数的导数4高阶导数5微分,第五章导数和微分,第五章导数和微分,1导数的概念,一问题的提出,1.直线运动的速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2.切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T
2、,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,二导数的定义,1.定义,导数定义其它常见形式：,即,1）,注1,2导函数,很明显,2）,3）,右导数:,3单侧导数,左导数:,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,例,解,三由定义求导数举例,步骤:,例1,解,例2,解,更一般地,例如,例3,解,例4,解,例5,解,四导数的意义,1几何意义,切线方程为,法线方程为,四、导数几何意义的应用,1、根据导数的几何意义，可以得到曲线在定点处的切线方程为：,2、如果，则法线的斜率为，从而
3、点处法线方程为：,例6求曲线在点（4，2）处的切线方程和法线方程。,解：（1）函数在x=2处的导数：,（2）所求切线的斜率,即,（4）法线的斜率，故所求的法线方程为：,即,（3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：,例7曲线上哪些点处的切线与直线平行？,解：由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为：,而直线的斜率为,解此方程，得,将代入曲线方程，得。,根据两直线平行的条件有,所以，曲线在点处的切线与直线平行。,练习,求曲线在点（1，1）处的切线方程和法线方程,解：,所以，切线方程为：,法线方程为：,即,即,即切线的斜率为：,例8,解,根据导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,
4、法线方程为,2简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,五可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证,比如,解,注意:反之不成立.即连续不一定可导。,六小结与思考判断题,1.导数的概念与实质:增量比的极限;,3.导数的几何意义与物理意义:,5.函数可导一定连续，但连续不一定可导;,4.由定义求导数.,思考判断题,1、初等函数在其定义区间内必可导,2、初等函数的导数仍是初等函数,六、练习,1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数,2、熟记以
5、下导数公式：,（1）（C)=0,（2）,(3),（4）,（5）,八、作业P94:1、3、4、5、6、7.,2求导法则,第五章导数和微分,一和、差、积、商的求导法则,定理2,定理1,证(1),(2)略.,推论,例1,解,定理3,推论,注意:,例2,解,定理4,证,注意:,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.,解,二反函数的导数,证,法则,于是有,即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例1,解,同理可得,例2,解,同理可得,例3,解,特别地,三复合函数的求导法则,链式法则（ChainRules)：,证明,注1：链式求导法则，即因变量对自变量求导
6、,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,注2,例4,解,例5,解,注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以这样写：,例6,练习：,解,例7求的导数。,解：设,由得,熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。,例8求的导数,解：,y=(3x+2)5,=5(3x+2)4(3x+2),=5(3x+2)4(3+0),=15(3x+2)4,例9求的导数,解：,y=(cosx)2,=2cosx(cosx),=2cosx(-sinx),例10求的导数,解：,y=sin(x3)2,=2sin(x3)sin(x3),=2sin(x3)cos(x3)(x3),=2sin(
7、x3)cos(x3)3x2,=6x2sin(x3)cos(x3),例11求的导数,解：,y=lnsin(4x),=sin(4x),=cos(4x)(4x),=cos(4x),例12求的导数,解：,练习求下列函数的导数,1.,解：,2.,解：,3.,解：,4.,解：,例13求下列函数的导数,综合运用求导法则求导,例14求下列函数的导数,解：,（1）,解：,（2）,先化简再运用导数法则求导,例15求下列函数的导数,解：先将已知函数分母有理化，得,（1）,解：因为,所以,解：因为,所以,（2）,（3）,练习求下列函数的导数,四、双曲函数与反双曲函数的导数,只证明其中一个公式,例16,解,1常数和基本
8、初等函数的导数公式,五小结,2函数的和、差、积、商的求导法则,3复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,(1)、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。,(2)、熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接由外及里、逐层处理复合关系进行求导。,(3)、有些函数可先化简再求导。,作业p1022：(1)(12)3:(1)(26),六思考判断题,1幂函数在其定义域内一定可导。,2任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的
9、求导公式和上述求导法则求出.,3初等函数的导数仍为初等函数.,3参变量函数的导数,第五章导数和微分,由参数方程所确定的函数的导数,消参数法,消参困难或无法消参的求导可用复合函数求导方法,1由参数方程确定的函数的定义,2由参数方程所确定的函数的求导数的方法,例如,由复合函数及反函数的求导法则得,例1,解:先求运动的方向,再求速度的大小,例2,解,所求切线方程为,例3,解,相关变化率问题,相关变化率解决的问题:,已知其中一个变化率时求出另一个变化率,例4,解,例5,解,小结与思考判断题,隐函数求导方法:直接对方程两边求导;,对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导:实质
10、上是利用复合函数求导法则;,相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;,由其中一个变化率时求出另一个变化率,思考题,第五章导数和微分,4高阶导数,一问题的提出(Introduction),变速直线运动的加速度问题,即加速度是位移对时间的导数的导数。,二高阶导数的定义,记作,类似地，,二阶导数的导数称为三阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,高阶导数的定义,三高阶导数的求法,例1,解,1直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数.,例2,例3,解,例4,解,2数学归纳法证明高阶导数,例5,解,同理可得,3高阶导数的运算法则,公式（3）称为莱布尼兹公式
11、,例6,解,3间接法,几个初等函数的高阶导数,利用已知的高阶导数公式,通过四则,运算,变量代换等方法,求出n阶导数.,例7,解,四小结与思考判断题,高阶导数的定义;,高阶导数的运算法则;,n阶导数的求法;,几个初等函数的高阶导数.,思考判断题,第五章导数和微分,5微分,一问题的提出,1面积问题设有一边长为的正方形,2自由落体问题,二微分的定义,1定义,恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释：,硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相
12、邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足道的。,M,N,）,2几何意义(如图),注1：,注2：,注3：,三可微与可导关系,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,注1：,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分,导数,注3：导数与微分的区别,例1,解,例2,解,四基本初等函数的微分公式与法则,先计算函数的导数,再乘以自变量的微分.,1基本初等函数的微分公式,2函数和、差、积、商的微分法则,3复合函数的微分法则,结论：,微分形式的不变性,解2,例3,解1,微分形式的不变性,例4,解1,解2,例5,解1,解2,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,五小结与思考判断题,求导数与微分的方法,叫做微分法.,导数与微分的联系:,微分的基本公式.,函数的和、差、积、商的微分法则.,
