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1、院系班级姓名作业编号1第九章曲线积分与曲面积分作业作业作业作业13131313对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界dLxsLyx=2yx=解：可以分解为及L1:,1,0,1Lyxyx=22:,2,0,1Lyxyxx=()12112200ddd11d12dLLLxsxsxsxxxxx=+=+()()11113222220000121225512d14d1414828321212xxxxxx=+=+=+2，其中为星形线在第一象限内的弧4433dLxys+L33cos,sinxatyat=02t解：为L33cos,sin,0
2、,2xatyatt=223cossin,3sincos,3sincosdxdyattattdsattdtdtdt=原式()47224422330031cossin3sincos1sin2sin222attattdtattdt=+=()7772223333003311cos2cos2cos2cos2883atdtatta=+=+=3计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点dxyzs)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(解：:,2,3,0,1,14123xyzABxtytzttdsdt=:1,3,2,4,BCxzyttdsdt=:,4,3,0,1,26143xyzCAxtytzttds
3、dt=14023ddd23141314182ABBCxyzsxyzsxyzstttdttdt=+=+=高等数学同步作业册24，其中为螺线上相应于从变到()22dxyzs+cos,sin,xttyttzt=t0的一段弧1解：为2cos,sin,0,1,2xttyttzttdstdt=+()()112222222001d2(22)222xyzstttdtttdt+=+=+()()153222201229342634282322225353155tt=+=5计算，其中L：22dLxys+0,22=+aaxyx解：将L参数化，22cos,sincos,cos,cos,xrtyrtrartratxat=
4、cossin,sin2,cos2,22yatttdxatdtdyatdtdsadt=2222222222002dcos2cos2sin2Lxysatadtatdtata+=6计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内22edxyLs+222ayx=+xy=x所围成的扇形的整个边界解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分12:0,0,;:sin,cos,0,;4LyxadsdxLxatyattdsadt=21232:,0,2;2aLyxxdsdtLLLL=+从而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLasedxeadtedxeee+=+=+112244aaaaaaaeeee
5、e=+=+院系班级姓名作业编号3作业作业作业作业14141414对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；()()ddLxyxxyy+L22221xyab+=解：为Lcos,sin,:02xatybtt=原式()()20sincossincoscossinatatbtbtatbtdt=+22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababttdtt+=+=(2)，其中是从点到点的一段直线；()dd1dxxyyxyz+()1,1,1()2,3,4解：是111,1,12,13,:012131
6、41xyzxtytztt=+=+=+原式()()()10121231121ttttdt=+()()112006146713tdttt=+=+=(3)，其中是圆柱螺线从到dddyxxyz+2cos,2sin,3xtytzt=0t=的一段弧；2t=解：是2cos,2sin,3,:02xtytztt=原式()()202sin2sin2cos2cos3ttttdt=+()()2200432dtt=+=(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线(12e)d(cose)dyyLxyxyxy+L到点O(0,0),再沿x轴到点B(2,0)的弧段2yx=解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；2:
7、,:10AOyxx=:0,:02OByx=高等数学同步作业册4原式220222010(12e)d(cose)2dx(e)dxxxxxxxxx=+220232210(12e2cos2e)ddxxxxxxxx=+()22200004211113sinedde21sin1sin11xxxxxxxxee=+=+=+2设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为FFFFy的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功m21xy=()1,0()0,1FFFF解：2220,10,:1,:01FxxdsdxdyLxyy=rr()()11352240028123515LLyyWFdsxdyyydy
8、y=+=+=rr3把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中()(),d,dLPxyxQxyy+L为：(1)在平面内沿直线从点到点；xOy()0,0()1,1(2)沿抛物线从点到点2yx=()0,0()1,1解：（1）2:,:01,0;112Lyxxdxdsdxdx=+=()()()()()(),d,d,dds2LLLPxxQxxPxyxQxyyPxxQxxx+=+=（2）22:,:01,0;14Lyxxdxdsxdx=+()()()()()()222,2,d,d,2,dds14LLLPxxxQxxPxyxQxyyPxxxQxxxx+=+=+院系班级姓名作业编号5作业作业作业作业151515
9、15格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用1填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,L12(24)d(536)dLxyxyxy+=(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，L)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(DCBA不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_ddLxyxy+（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积(,)d(,)d(,)dLPxyzxQxyzyRxyzz+分是其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段(,)3(,)ds5LPxyzRxyz+L2计算,其中L是沿半圆周33(esin)d(ecos)dx
10、xLIyyxyxy=+从点到点的弧22xay=),0(aA),0(aB解：L加上构成区域边界的负向:0,:BAxxaa=()3322(esin)d(ecos)d3cosaxxLDaIyyxyxyxydydy=+=+34230233cos2sin4aaaadrdrydya=+=+3计算,其中为椭圆e31de33dxyxyLyxyxxxyy+L正向一周22221xyab+=解：原式()()e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy=+44Ddxdyab=高等数学同步作业册64计算曲线积分其中为连续函()sind()cosd,LIfxyxfxyxy=+)(xf数，是沿圆周按逆时针方向由点到点L2
11、22(1)()1xy+=+(2,2)A的一段弧)0,0(O解：令1:,:02Lyxx=则，原式()111()sind()cosdLLLLDIdxdyfxyxfxyxy+=+()22201()sin()cosd2fxxfxxxx=+()()22242222031()sin1222222xfxx=+=+=5计算,其中为22ddLxyyxxy+L（1）圆周（按反时针方向）；()()22111xy+=解：，而且原点不在()()222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy+=+该圆域内部，从而由格林公式，原式0=（2）闭曲线（按反时针方向）1xy+=解：，但所围区域内()()222
12、222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy+=+部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01xy+=（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，1L原式()1122dddd1001120.01LLDxyyxxyyxdxdyxy=+=+6证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：xOy（1）；()()(),0,0ecosdsindabxyxyy解：由于在全平面连续，从而该曲线积分()()esinesinecosxxxyyyxy=院系班级姓名作业编号7在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy()()()0,00,bab原式()()00sinec
13、osdcos11coscos1baxaaydybxbebeb=+=+=（2）；()()()()2,14231,023d4dxyyxxxyy+解：由于在全平面连续，从而该曲线()()233442423xxyxyxyyxy=+积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，xOy10,1,:122110 xyyxx=原式=()()()24321211341dxxxxxxx+()()243213235141dxxxxx=+()()2543213115xxxxx=+=（3）()()()(),20,0ecosdesindyyxmxxmyy+解：由于在全平面连续，从而该曲()()esinecosecosyyyxm
14、yxxmxy=线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，xOy()()()0,0,0,2原式()()2000cosesindyexmdxmyy=+()2200sin2myxmx=+2mm=7设在上具有连续导数，计算()fx(),+，()()2221d1dLyfxyxxyfxyyyy+其中L为从点到点的直线段23,3()1,2解：由于在()()()()2222111yfxyxyfxyfxyxyfxyxyyyy+=+=右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线高等数学同步作业册8积分即可，12:2,:31Lxyyxx=原式()()()()2122232421122dd22xffxxx
15、xxxx+13xdx=1232x=1942=8验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出()(),d,dPxyxQxyy+xOy它的一个原函数：（1）；()()eede1edxyxyxyxxy+解：由于在全平面连续，从而()()e1eeexyxyxyxeexyxy+=+该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy(),uxy则()(),e1e,eexyxyuuuududxdyxxyxyyx=+=+=+从而()()()e1ee1exyxyuxdyyxgx=+=+()()()eeee=exyxyxuxyygxgxxx=+=+，()=exxxxxgxxdxeedxxeec=+()(
16、)1e1exyuxyxc=+（2）；()()223238d812edyxyxyxxxyyy+解：由于在全平面连续，()()32222812e31638yxxyyxxyxyxyxy+=+=+从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，xOy(),uxy则原式3223224d412edyydxyxxdyxdyyy=+()3322224d412deyydxxdyyxxdydy=+()()()32241212edyydyxdxydyey=+()32241212eyydyxxyye=+可取32241212eyyuyxxyye=+（3）()()222coscosd2sinsindxyyxxyxxyy+解：可取折线作曲线积分()()()0,0,0,x
