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1、2020全国硕士研究生入学统一考试数学二全国硕士研究生入学统一考试数学二真真题详解题详解一、选择题：一、选择题：18小题，每小题小题，每小题4分，共分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当x0时，下列无穷小量中最高阶是（）（A）0 xet21dt（B）0 xln1t2dt（C）sin20sinxtdt（D）1cos20sinxtdt【答案】（D）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A
2、）222011xtxedtex（B）220ln1ln1xxxdtt（C）sin2220sinsinsinxxxtdt（D）1cos32201sin(1cos)sinsin2xxxxtdt经比较，选（D）（2）函数11ln1()2)(1)(xxexfxex的第二类间断点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x，由此111211111lnlim()limlimln12)1)(3(1)xxxxxxeexfxexe；111000ln11ln(1)lim()limlim2)1)(22xxxxxexexfxxeex；2020全国硕士研究生
3、入学统一考试数学二真题详解1共13页1111111111111ln1ln2lim()limlim0;(1)(2)1ln1ln2;limlim(1)(2)1xxxxxxxxxxxexfxeexeexeexe；1122221ln1ln3limlim()lim21)(2)1)(xxxxxxeefxxexe故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C）正确。（3）10arcsin1xdxxx（）（A）24（B）28（C）4（D）8【答案】（A）【解析】令sinxt，则2sinxt，2sincosdxttdt21222000arcsin2sincos22sincos410 xtdxttdttdt
4、tttxx（4）2ln1,3fxxxn时，0nf（A）!2nn（B）!2nn（C）2!nn（D）2!nn【答案】(A)【解析】由泰勒展开式，1ln(1)nnxxn，则2213ln(1)2nnnnxxxxnn，故()!.(0)2nnfn（5）关于函数,0,0,0 xyxyfxyxyyx给出以下结论0,01fx0,01fxy,0,0(,)0limxyfxy00limlim(,)0yxfxy2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解2共13页正确的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B）【解析】0,000,00,00lim1lim0 xxfxfxfxxx，正确0,00010,0,0
5、,0,limlim0yyfffyyxxxfyyxy而0,fyx000,0,1limlimlim0 xxxfxyfyxyyxyxxx不存在，所以错误；,0,0,0yyxxxyxy从而,0,0 xy时，,0,0lim(,)0 xyfxy，正确。00,00,lim,0,xxyyfxyxy或从而00limlim(,)0yxfxy，正确（6）设函数()fx在区间2,2上可导，且()()0fxfx.则(A)(2)1(1)ff(B)(0)(1)fef(C)2(1)(1)fef(D)3(2)(1)fef【答案】(B)【解析】构造辅助函数()()xfxFxe，由2()()()()()xxxxfxefxefxfx
6、Fxee，由题意可知，()0Fx，从而()()xfxFxe单调递增.故(0)(1)FF，也即01(0)(1)ffee，又有()0fx，从而(0)(1)fef.故选(B).（7）设4阶矩阵ijAa不可逆，12a的代数余子式120A,1234,为矩阵A的列向量组，*A为A的伴随矩阵，则*0Ax的通解为（）（A）112233xkkk，其中123,kkk为任意常数（B）112234xkkk，其中123,kkk为任意常数2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解3共13页（C）112334xkkk，其中123,kkk为任意常数（D）122334xkkk，其中123,kkk为任意常数【答案】（C）【
7、解析】A由于不可逆，4rA故，0A.由由*1201413ArArA，则3rA，*1rA，故，故*0Ax的基础解系中有413个无关解向量。此外，*0AEAA，则A的列向量为*0Ax的解。则由120A，可知，可知134,线性无关（向量组无关，则其延伸组无关），故*0Ax的通解为112334xkkk，即选项（C）正确。（8）设A为3阶矩阵，12,为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，3为A的属于特征值1的特征向量，则1100010001PAP的可逆矩阵P为（）（A）1323,（B）1223,（C）1332,（D）1232,【答案】（D）【解析】设123(,)P，若1100010001PAP，则13
8、,应为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，2应为A的属于特征值1的线性无关的特征向量。这里根据题设，12,为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，则12也为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量。又因3为A的属于1的特征向量，则3也为A的属于特征值1的特征向量。且123212312321231232100100(,)(,)101101010010(,)(,)3,rr由于可逆，故即线性无关2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解4共13页综上，若1231232()(,),P，则1100010001PAP.因此选项（D）正确。二、填空题：二、填空题：914小题，每小题小题，每小题4分，
9、共分，共24分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）设2211lnxttty，则221dytdx【答案】2【解析】22211111tdytdytdtdxdxttttdt22dydx22231111ddtttdytdtdxtttdx2221dytdx(10)11301ydyxdx【答案】22219【解析】交换积分次序，原式2113230003133320111211222111109333xdxxdyxxdxxdxx(11)设arctansinzxyxy，则0,dz【答案】1dxdy【解析】22coscos,1sin1sinxxyyxyzzxyxyxyxyxy20
10、20全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解5共13页将0,带入得1,1zzxy因此0,dz1dxdy(12)斜边长为2a的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为g，水的密度为，则该平板一侧所受的水压力为_.【答案】313ga【解析】以水面向右为x轴，以垂直于三角板斜边向上为y轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为yxa，取微元dy，则此时22()dFyxgdygyyady，则一侧的压力0033212.2()()33aagaFgyyadygyay（13）设yyx满足20yyy，且00,01yy，则0yxdx【答案】1【解析】由方程可得特征方程为2
11、210,则特征方程的根为121,1,则微分方程的通解为12xxycecxe，由00,01yy可得120,1cc，则xyxxe，则001xyxdxxedx（14）行列式110110110110aaaa【答案】424aa【解析】2322411010001101110111011101012221124aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解6共13页三、解答题：三、解答题：1523小题，共小题，共94分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（
12、15）（本题满分10分）求曲线101xxxyxx的斜渐近线【答案】112yxee【解析】由11limlimlim1(1)(1)xxxxxxyxkxxex1ln1ln111111200111)lim(1)lim(lim()lim(1)1ln1111lim(ln1)limlim.2(1)21xxxxxxxxxxxxxttxexexxebyxexeetxtexxteetetxx洛故斜渐近线方程为：112yxee.（16）（本题满分10分）已知函数fx连续且0lim1xfxx，10gxfxtdt，求gx并证明gx在0 x处连续.【答案】20102()10 xxgxfxfuduxxx【解析】因为0lim
13、1xfxx，并且()fx连续，可得(0)0,(0)1ff.1001xgxfxtdtxtufudux，当0 x时，(0)0g.故00010 xxgxfuduxx，又2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解7共13页0000200100limlim0001()limlim22xxxxxxfuduggxxgxxfudufxxx导数定义则20102()10 xxgxfxfuduxxx，又因为200020001()limlim1()limlim110122xxxxxxfxfuduxgxxfxfuduxxg所以gx在0 x处连续（17）（本题满分10分）求33,8fxyxyxy极值【答案】111)
14、,(216612f极小【解析】令22(,)30(,)240 xyfxyxyfxyyx得1060112xxyy或.当驻点为(0,0)时，(0,0)0(0,0)1(0,0)0 xxxyyyAfBfCf，则20ACB，故(0,0)不是极值点.当驻点为11(,)612时，11(,)1612111),(612114),(612xxxyyyAffBfC，则20,10ACBA，故11(,)612为极2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解8共13页小值点.111),(216612f为极小值.（18）设函数()fx的定义域为(0,)且满足222122()()1xxfxxfxx.求()fx，并求曲线31
15、,(),22yfxyy及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.【答案】2()1xfxx，26【解析】22222122()()112112()()1xxfxxfxxxffxxxx得2()1xfxx.332233221126622236cos21sin2cos2sin222cos11sin)(.62xttydttdttdyyyxdyVtytt（19）（本题满分10分）平面D由直线1,2,xxyx与x轴围成，计算22Dxydxdyx【答案】3312ln242【解析】222sec2440sec034400113seccoscos23333secsectan2ln212224Dxyrdxdydrdrd
16、xrdd（20）（本题满分11分）设函数21xtfxedt(I)证明：存在21,2,2fe(II)证明：存在21,2,2ln2fe2020全国硕士研究生入学统一考试数学二真题详解9共13页【解析】(I)法1：令21()(2)()(2)xtFxxfxxedt.由题意可知，(2)(1)0FF，且)(xF可导，由罗尔中值定理知，(1,2)，使()0F，又221()(2)xtxFxedtxe，即22fe.得证.法2：令2()(2)xFxfxxe，则221(1)0,(2)0tFeFedt，由零点定理知，存在(1,2)，使得()0F，即22fe.(II)令()lngxx，则1()0.gxx由柯西中值定理知，存在(1,2)，使得(2)(1)()(2)(1)()fffggg，即2(2)1ln2ef，故2.ln22ef（21）（本题满分11分）设函数fx可导，且0fx，曲线0yfxx经过坐标原点，其上任意一点M处的切线与x轴交于T,又MP垂直x轴于点P，已知曲线yfx，直线MPx以及轴围成图形的面积与MTP面积比恒为为3:2，求满足
