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1、第三章第三章晶格振动晶格振动总总结结三维晶格振动、声子三维晶格振动、声子一维晶格振动一维晶格振动确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法晶体比热晶体比热晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应长波近似长波近似振动很微弱时，势能展式中只保留到振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)22项项,3次方以上的高次项均忽略掉的次方以上的高次项均忽略掉的近似为近似为简谐近似简谐近似(忽略掉作用力中非线性项的近似忽略掉作用力中非线性项的近似)。nknknkrnkxxruf022dd022ddrnkru格波格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地
2、作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。一维晶格振动在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。模型模型运动方程运动方程试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶晶体的原胞数体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值11.nnnnxxxxnmxnaqtinAxe2sin2aqmaqaNnnxxn-2nn+1n+2n-1ammoaam2一维双原子链振
3、动一维双原子链振动2n-22n2n+12n+22n-1MmaaqntinAx1212enxM2.nnnxxx21212212.nxm122222nnnxxxnaqtinBx22e2cos2)(222aqmMMmMmmM,)(22Nnnxxaqa22oqa2a2OA3nN种声子种声子3N种声学声子种声学声子，(3n-3)N种光学声子种光学声子。3nN个振动模式个振动模式晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数独立的振动模式数=晶体的自由度数晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，是晶
4、体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是维数是维数。声子声子：晶格振动的能量量子。能量为：晶格振动的能量量子。能量为,准动量为准动量为。q三维晶格振动、声子长波近似长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波Wb11(1)(1)式代表振动方程，右边第一项式代表振动方程，右边第一项为准弹性恢复力，第二项表示电场为准弹性恢复力，第二项表示电场附附加了恢复力。加了恢复力。E(2)(2)式代表极化方程，式代表极化方程，表示离子位移引起的极化，第二项表示电场表示离子位移引起的极化，第二项表示电场附加附加了极化。了极化。Wb21E)2()1(222
5、11211EbWbPEbWbW-黄昆方程黄昆方程1.黄昆方程sLT2020-著名的著名的LST关系关系光频介电光频介电常量常量静电介电常量静电介电常量ToLos,)1(0TOS02/1(2)(2)铁电软模铁电软模(光学软模光学软模)3.极化声子和电磁声子因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子极化声子。长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子电磁声子。2.LST关系确定晶格振动谱的实验方法中子的非弹性散射、
6、光子散射、中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射射线散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器：三轴中子谱仪。三轴中子谱仪。)q(MPMPnn2222hKqPP由能量守恒和准动量守恒得：由能量守恒和准动量守恒得：“+”表示吸收一个声子表示吸收一个声子“-”表示发射一个声子表示发射一个声子2.频率分布函数定义：定义：nlim0)(nsqcqsV313d2计算：计算：晶体比热3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.固体比热的实验规律(1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为33NkB；(1)(1)晶体中原子的振动是相互独立的；晶体中原子的振动是相互独立的；(2)(2)所有原
7、子都具有同一频率所有原子都具有同一频率；(3)(3)设晶体由设晶体由N个原子组成个原子组成,共有共有3N个频个频率为率为的振动的振动。(1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质,格波视为弹性波；格波视为弹性波；(2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波；DB0d211e)(ETk211e3BTkNE爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型23D9N(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在之间之间(D为德拜频为德拜频率率)。D022EE1eeEETTTTfTfNkCVEEB3TfNkCVDB3xxTTfTxxd1ee34023DDD高温时与实验相吻合，低温时以比高温时与实验相吻合，低温
8、时以比T33更快的速度趋于零。更快的速度趋于零。高低温时均与实验相吻合，且温度越低，高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。与实验吻合的越好。爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀现象：4.晶体的热传导现象：vCV313TT1高温时高温时:低温时低温时:dedeBBTkuTkuTkcgB24333322200003121RRRU!RU!)R(U)R(U32gc2.声子与声子相互作用：)2()1(321321hKqqq晶体的非简谐效应第第五五章章能带理论能带理论总总结结布洛赫定理布洛赫定理近自由电子近似近自由电子近似平面波方法平面波方法紧束缚近似紧
9、束缚近似晶体中电子的速度、加速度和有效质量晶体中电子的速度、加速度和有效质量导体、半导体和绝缘体导体、半导体和绝缘体布洛赫定理在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。形式的波函数称为布洛赫波函数。rurkrkikenkkRruru,rRrnRkin)(e)(布洛赫波函数具有如下特点：布洛赫波函数具有如下特点：)()(rrhKkk)321(22，ibkbiii在此范围内在此范围内k共有共有N个值个值(N为晶体原胞数为晶体原胞数)。22d)e(1aaikxnxxVaV222
10、d)e(1aanxaixxVaikxnnVxVe)(22d)e(1aaikxnxxVaV1.模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值作为零级近似，用势能的平均值V0代替代替V(x)，把周期性起伏把周期性起伏V(x)-V00作为微扰来处作为微扰来处理。理。近自由电子近似2.势场:220)d(1aaxxVaV是势能的平均值是势能的平均值其中其中。)(exukikxnnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1)(xknnknakkmVmkE222222)2(22LAAxikxk
11、1e)(0，mkEk22203.波函数和能量(1)(1)在在k=n/a处处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为；nV2(2)(2)在在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；顶部是向下弯曲的抛物线；(3)(3)在在k远离远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。处，电子的能量与自由电子的能量相近。利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。4.结论:电子能带的三种图示法电子
12、能带的三种图示法(a)扩展区图扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；：在不同的布里渊区画出不同的能带；(b)简约区图简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所在简约布里渊区内画出所有能带有能带)；(c)周期区图周期区图：在每一个布里渊区周期性地画：在每一个布里渊区周期性地画出所有能带出所有能带(强调任一特定的波矢强调任一特定的波矢k的能量可以用的能量可以用和它相差和它相差Kh的波矢来描述的波矢来描述)。每个布里渊区中波矢每个布里渊区中波矢k可取可取N个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带个值，
13、而能带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大序号越小，能态密度越大。5.能带图平面波方法mmkrKimKVrV)e()(mmmmkrKimkrKimKVVKV)r(V)e()e(0rkirkikNVre1e1)(0mkEk22201.模型：2.势场和波函数：llKrKilrkikKaNr)e(e1)(平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。0)0()()(2)(22222aKVKamkkKmnnn0)()()0()(222nnKaKVakEmk0)()(2)0()(22nnKakEmkaKV)(2)(22nKVmkk
14、E将将代入薛定谔方程代入薛定谔方程)(rk:)()()(得得rkErHkk发生能量不连续的波矢发生能量不连续的波矢满足的满足的条件可改写为条件可改写为:k0)2(nnKkK对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是间断的，但不同方向函数是间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。3.结论：0nKkknK晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其他原的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。
15、子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。)(nRrVmRmatnatRrVRrVrV)()(2.势场紧束缚近似1.模型nnRnatRkiRrNr,k)(e1)(3.波函数nsnRsnRRkissatJJEkE)(e)(4.能量表达式：5.能带宽度：minmaxEEEkkEm2211)(1kEvkk)()(kvkvzyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEaaa22222222222221晶体中电子的速度、加速度和有效质量1.电子运动速度2.电子有效质量与加速度Fma*1有效质量有效质量m*是固体物理学中的一个重要的概念。是固
16、体物理学中的一个重要的概念。（11）m*不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加不是电子的惯性质量，而是能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；（22）m*不是一个常数，而是不是一个常数，而是的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；情况下，它才可化为一标量的形式；k（33）m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，m*总是总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。总是负的，表示电子从外场得到的动量
