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1、题目：一阶常微分方程的初等解法摘 要一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程），三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。关键词：变量分离方程 伯努利方程 恰当微分方程 积分因子 应用举例Abstract First order ordinary differential equation is
2、a mathematical analysis or a part of basic math, occupies an important position in the mathematics. Mainly from three aspects: first, the basic concept of differential equation; Second ,the elementary solution of first order ordinary differential equations (including differential equation of separat
3、ion of variables, differential equation of Bernoulli, exact differential equation and integral factor, first-order hidden decay equation);Third,the application of elementary first-order ordinary differential equation solution.Because solution of the first-order ordinary differential equation is flex
4、ible and technique, it has always been a big difficulty in students learning. Therefore, according to different types, different methods should be taken.Keywords: Variable separable equation Bernoulli equation Appropriate differential equation Integrating factor Applications 引言 数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分
5、与积分。如函数未知，但已知变量与函数的代数关系，便组成代数方程，通过求解代数方程就可解出未知函数。一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，他们在实际问题中有着广泛的应用，值得我们好好学习和1.微分的基本概念1.1常微分方程微分方程：一般地，表示未知函数以及未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程。常微分方程：自变量只有一个的微分方程。微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。 一般的阶微分方程具有的形式 这里是的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量。1.2线性和非线性方程 如果微分方程对于未知函数以及它的各阶导
6、数的有理整式而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如是非线性微分方程。一般的阶线性微分方程形式 这里是的已知函数。 1.3解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数代入式中，使其成为恒等式，称为方程的解。如果关系式决定的隐函数为方程的解，称是方程的隐式解。1.4通解和特解通解：含有个独立的任意常数的解称为阶方程的通解。特解：方程满足初值条件的解。定解问题：求方程满足定解条件的求解问题，定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。2.一阶微分方程的初等解法 微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们
7、的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。2.1变量分离微分方程形如 （1）的方程，称为变量分离方程，分别是，的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。如果，我们可将（1）改写成，这样，变量就“分离”开来了。两边积分，得到 （2）这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为，的原函数。常数的取值必须保证（2）有意义。 例1 求解方程 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里是任意正常数，或者解出，写出显函数形式的解 2.1.1可化为变量分离方程的类型： 一阶线性微分方程 ， （1）其中，在考虑的区间上是的连续函数，若，（1
8、）变为 ， （2）称为一阶齐次线性微分方程。若，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。变量分离方程，易求得它的通解为，这里是任意常数。 齐次微分方程 ，令，方程可化为分离变量的方程，。分式线性方程 下面分三种情形来讨论：），这时 为齐次方程。）及，这时可作变换，其中是线性代数方程的唯一解，可将方程化为齐次方程 。）及，这时可设 ，方程可化为 ，再令，则方程可进一步化为 ，这是一个变量可分离方程。其它类型的方程利用整体代换的思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。例如，令；，令；，令；，令。 例2 求方程的通解。 解 方程可化为，令，将代入上式， 可得， 易知是上式的一个解， 从而为原方程的一个
9、解。当时，分离变量得， 两边积分得， 故可得原方程的通解为 例3 求方程的通解。 解 令，则有，代入所求方程 ， 整理可得， 由变量分离得， 故所求方程的通解为2.2伯努利微分方程形如的方程，称为伯努利微分方程，这里，为的连续函数，是常数。利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于，用乘两边，得到，引入变量变换，从而将代入得到，这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到的通解。此外，当时，方程还有解。 例4 求微分方程的通解。 解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以，得 ， 令，则有 ， 上式是一个一阶非齐次线形微分方程， 由常数变易法可求得上式
10、的解为， 从而原方程的通解为 2.3恰当微分方程与积分因子2.3.1恰当微分方程 我们可以将一阶方程写成微分的形式，或把，平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 ， （1）这里假设，在某矩形域内是，的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即，则称（1）为恰当微分方程。 例5 求微分方程的通解。 解 这里，从而，可知所求的微分方程为 恰当微分方程，则有， 对积分得， 再对求导，则得， 又有， 则可得， 将代入得， 所以原方程的通解为2.3.2积分因子的定义与充要条件恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个
11、非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题引进的概念。如果存在连续可微函数，使得 ，为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程的积分因子。函数为积分因子的充要条件是，即 假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数。此时可求得原方程的一个积分因子为 同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程的一个积分因子为例6 求方程的通解。解 在此式中，因, 所以该方程不是恰当方程，因 不是的函数，但 是的函数，所以为方程的积分因子， 方程乘以积分因子，得， 该式为恰当微分方程，通过以上介绍的求恰当微分方程的
12、方法得原方程的通解 为2.4一阶隐式微分方程2.4.1可以解出或的方程一阶隐方程的一般形式为（1）形如的方程的解法，这里假设有连续的偏导数。引进参数，则变为将两边对求导数，并以代入，得到方程是关于，的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出它的解。若已求得的通解的形式为将它代入，得到这就是得通解。若求得的通解的形式为，则得到的参数形式的通解为其中是参数，使任意常数。若求得的通解的形式为，则得到的参数形式的通解其中是参数，为任意常数。（2）形如的方程，假定函数有连续的偏导数。引进参数，则变为，将两边对求导数，然后以代入，得到方程是关于，的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求解，设求得通解为，则得的通解为 例7 求方程的通解. 解 令，得到， 两边对求导数，得到 即 当时，上式乘以得到 积分得， 解出，得到 把它代入，即得 因此，得到方程的参数形式的通解 当时，由直接推出也是方程的解.2.4.2不显含或的方程 （1）形如的方程的解法。记，令，这里为参数，因为，以代入上式得两边积分，得到于是，得到方程的参数形式的通解为这里为任意常数。（2）形如的方程，其解法同方程的求解方法类似。 记，引入参数，将
