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1、第6讲 平行与垂直本节内容主要是关于空间两条直线、直线与平面、两个平面的平行与垂直的判定与性质以及三垂线定理A类例题平面外一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系是（ ）A平行B相交C平行或相交D以上结果都不对分析：看上去平行的直线满足条件，但若直线与平面相交，则直线上在平面异侧可以各取一个点满足到平面距离相等答案：D已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列的四个命题：若m，m，则；若，则；若m，n，mn，则；若m、n是异面直线，m，m，n，n，则其中真命题是A和B和C和D和（2005年高考辽宁卷）分析：本题考察的是平行与垂直的概念与性质答案：
2、D在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）A1个.B2个C3个D4个解：首先令底面为直角三角形，然后从非直角的顶点作底面的垂线，在垂线上任取一点，则这个点与底面三个顶点构成的四面体四个侧面都是直角三角形答案：4情景再现下面结论有正确的有（ ）（1）过空间一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个（2）过空间一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个（3）过空间一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条（4）过空间一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条A1个B2个C3个D4个已知m，l是直线，是平面，给出下列命题：若l垂直于内的两条相交直线，则l；若l平行于，则l平行于内的所有直线；若m，l，且lm
3、，则；若l，且l，则；若m，l，且，则ml其中正确的命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号填上）（1997年高考）直线ab，直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_B类例题如图，已知平面，A，C，B，D，异面直线AB和CD分别与交于E和G，连结AD和BC分别交于F，H（1）求证：；（2）判断四边形EFGH是哪一类四边形；（3）若ACBDa，求四边形EFGH的周长分析：由于AB，CD为异面直线，要求，值间的关系需要经过与AB或CD共面的直线进行过渡，再利用平面几何知识解决问题解：（1）由AB，AD确定的平面，与平行平面和的交线分别为EF和BD，知EFBD，同理FGAC，因而，（2）面CBD
4、分别交，于HG和BD由于，HGBD同理EHAC故EFGH为平行四边形（3）由EFBD，得由FGAC得又BDACa，1即EFFGa，故四边形EFGH周长为2a说明：此问题利用平面几何的有关知识，辅助平面ABD和ADC是关键所在，利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想是本题的关键已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点证明：面PAD面PCD；解：证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD又CD面PCD，面PAD面PCD平行六面体ABCDA1B1C1D1底
5、面ABCD为菱形，且C1CBC1CDBCD60（1）求证：C1CBD；（2）假定CD2，CC1，求二面角C1BDC的大小（3）设K，K为何值时，A1C面C1BD证明：（1）过C1作C1H面DCBA于H，H在CA上，BD面ACC1A1，BDCC1，（2）CC1，C1H，CH，HO，tanC1OH（3）设CC11，则CDK，C1D1K，CB1，CC12CM2C1A12A1M2，K1在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D求证：A1C平面AEF（2001年上海春季高考）分析：考虑线面垂直的判定定理，找到平面AEF内相交直线都和A1C垂直证明：CB平
6、面A1B，A1C在平面A1B上的射影为A1B由A1BAE，AE平面A1B，得A1CAE同理可证A1CAFA1CAF，A1CAE，A1C平面AEF情景再现在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1中点，O是底面ABCD中心，N为棱A1B1上任意一点，则直线ON与AM所成角的大小为（ ）A30B45C90D不确定如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，且PA底面ABCD若AEPD，E为垂足，求证：BEPD（1999年上海高考）已知：平面平面直线a，同垂直于平面，又同平行于直线b求证：()a；()b（1993年高考）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在
7、底面的圆周上，AFDE，F是垂足求证：AFDB（1995年高考）C类例题如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。（）证明ADD1F；（）求AE与D1F所成的角；（）证明面AED面A1FD1；（）设AA12，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1（1997年高考）如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、N分别是A1B1、A1A的中点（1）求BN的长；（2）求cos的值；（3）求证：A1BC1M（2000年高考天津、江西、山西卷）给出四个不重合的相互平行的平面，证明：存在一个正四面体，它的四个顶点分别在这四个平面上分
8、析：可对照平面几何中类似的题目找出解法：如图，设有三条平行直线l1，l2，l3，作一个正三角形，使其三个顶点分别在这三条平行线上设l1，l2的距离为h1，l2，l3的距离为h2，则ADDB=h1h2于是，可任作一个等边三角形，ABC，分其边AB成比h1h2于点D，过C、D的直线l2，过A、B作l2的平行线l1，l3，设l1与l2的距离为h1下面只要进行相似变换，把此图形按h1h1放缩即得解：设已知四个平面依次为1，2，3，4，且1与2的距离为h1，2与3的距离为h2，3与4的距离为h4现在1上任取一点A，以A为一个顶点作一个正四面体ABCD，在AD上取点B3、C3，使AB3B3C3C3D=h1
9、h2h3；在AC上取点B2，使AB2B2C=h1h2，在BD上取点C2，使BC2C2C=h2h3作平面BB2B3，CC2C3，过A、D作此二平面的平行平面1，4作AH4于H，连DH，在AH上取AH=h1+h2+h3，在AD、AC、AB上分别取点D、C、B，使ADAD=AHAHAC=AB=AD，即得正四面体ABCD显然，该正四面体经过旋转即可使其四个顶点分别在已知的四个平面上情景再现等腰三角形ABC中，ABAC，MAB，NAC，MNBC，沿MN将AMN折起成AMN，使二面角AMNBC为60求证：面AMN面ABC如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB8，AD4，侧面PAD为等边三角形
10、，并且与底面所成二面角为60.（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD（2004年高考甘肃贵州青海宁夏新疆卷）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60（1）证明：C1CBD；（2）假定CD2，CC1，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明（2000全国理，18）在四面体ABCD中，BDC=90，过点D作平面ABC的垂线，垂足S是ABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)(IMO125)习题六下列命题正确的是（ ）平行于同一条直线的两
11、个平面平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一条平面的两个平面平行； 垂直于同一平面的两个平面平行；A B C D空间四边形ABCD的四边相等，则它的对角线AC，BD（ ）A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D垂直但不一定相交a，b是两条异面直线，且a平面，b平面，则，的关系是（ ）A相交B平行C相交或平行D垂直设有直线a，b，c，d及平面，下列条件能推出的是（ ）Aa,b,a/b,c,d,c/dBa,b,a/,b/Ca,b,a/b D平面内有三个不共线的点到距离相等已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：lm；lm；lm；lm其中正确的两个命题是（ ）A与B与C与D与（1995年高考）如果直线l、m与平面，满足：l，l，m和m，那么必有（ ）A且lmB且mCm且lmD且（1996年高考）如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）（1998年理），是两个不同平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_（1999年高考）求证：两条异面直线的公垂线有且只有一个- 9 -用心 爱心 专心
