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1、第7讲 空间向量的应用随堂演练巩固101.设平面的法向量为（1，2，2），平面的法向量为（2，4，k），若/则k等于（ ） A.2B.4C.4D.2 【答案】C 【解析】(2， k=4. 2.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(0，2，1)，b那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90B.60C.45D.30 【答案】D 【解析】cos因此a与b的夹角为30. 3.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3，1) 的重心坐标为（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】ABC的重心坐标为. 4.如图平面AC=则二面角APBC的余弦值大小为 . 【答案】 【解析】 以C
2、为原点,CA为x轴,CB为y轴建立空间直角坐标系Cxyz, 因为A(1,0,00,0),P(1,0,1), =(0,0,1), 设平面APB的法向量为n平面PBC的法向量为n 则 nn. cosnn. 二面角APBC的余弦值为. 5.(2012安徽怀宁检测)在空间直角坐标系中，定义:平面的一般方程为:Ax+By+Cz+D=0R，且A，B，C不同时为零)，点到平面的距离为:则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于 . 【答案】 【解析】如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax+By+
3、Cz+D=0，将以上3个坐标代入计算得A=0，B= 即2y+z2=0，课后作业夯基基础巩固1.(2012北京西城检测)下列命题中，正确命题的个数为( ) 若nn分别是平面的法向量，则nn;若nn分别是平面的法向量，则nn;若n是平面的法向量，a与共面，则na=0; 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直. A.1B.2C.3D.4 【答案】:C 【解析】中平面可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知正确，故选C. 2.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A.75B.60C.45D.30 【答案】C 【解析】如图，四棱锥PABCD中，过P作平面ABC
4、D于O，连结AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影，即为所求线面角， cos. ，即所求线面角为45. 3.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为n=(2，2，1)，已知P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于( ) A.4B.2C.3D.1 【答案】B 【解析】. 4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.B. C.D. 【答案】D 【解析】:设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，则n，n， 于是n=0，n=0， =(1，1，0)，=(1，0，1)， 取z=1，则x=y=z=1. n=(1，1，1)，故
5、所求平面ABC的一个单位法向量为. 5.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n则l与所成的角为 ( ) A.30B.60C.120D.150 【答案】 A 【解析】 sin|. 又直线与平面所成角满足0,. 6.已知长方体-中是侧棱的中点,则直线AE与平面所成角的大小为( ) A.60B.90 C.45D.以上都不正确 【答案】 B 【解析】 E是的中点且1, . 又在长方体ABCD-中平面. 平面.故所求角为90. 7.已知在长方体-中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离是 ( ) A.B.C.D. 【答案】 C 【解析】 如图,以D为原点建立空间直
6、角坐标系D-xyz, 则A(2 设平面的法向量为n=(x,y,z), 则 即 解得x=2z且y=-2z,不妨设n=(2,-2,1), 设点到平面的距离为d, 则. 8.(2012海南海口检测)正方体-中,二面角A的大小为( ) A.60B.30C.120D.150 【答案】 C 【解析】 以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图. 设 (1B(1,1,0)C(0,1,0),则=(-1,1,0)为平面的一个法向量. 设n=(x,y,z)为平面的一个法向量. 则nn=0, 又=(0,1,0), n=(1,0,1). 令x=1,则z=1. cos,n. ,n,即二面角的大小为120. 9.与A(1，2
7、，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点满足的等式为 . 【答案】2x4y+4z11=0 【解析】设到A 两点距离相等的点位由|PA|=|PB|，即 整理得:2x4y+4z11=0. 10.长方体-中E为的中点,则异面直线与AE所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】 以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图, 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1. =(-1,2,1), cos. 11.如图,正方体-的棱长为2,M,N分别是的中点,则直线与平面BDM所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】 以D为坐标原点,分别以,的方向为x轴 、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图,则N(0 又M
8、(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则=(2,2,0), =(0,1,2), 可得平面BDM的一个法向量n=(2,-2,1),因为cosn 故直线与平面BDM所成角的正弦值是. 12.如图，正ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由; (2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值;(3)求二面角BACD的余弦值. 【解】(1)以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0. =(a，0，a)， 从而， ，又平面平面DEF， 故AB平面DEF. (2)，即为异面直线AB与DE
9、所成的角. cos. 异面直线AB与DE所成角的余弦值为. (3)=(a，0，0)为平面ACD的一个法向量， 设n=(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则n=axaz=0，n 取z=1，则. n 从而cos. 所以二面角BACD的余弦值为. 13.如图甲,在直角梯形ABCD中,AB,AB=2,AD=3,CD=1,点E 、F分别在AD、BC上，且AE=AD,BF=.BC.现将此梯形沿EF折至使的位置(如图乙). (1)求证:平面ABCD; (2)求点B到平面CDEF的距离; (3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值. 【解】 (1)证明:由题意知:AE=1 . ,即. 又平面ABCD.
10、(2)作于点K. ,ABEF. 又平面平面CDEF,AB平面CDEF. 点B到平面CDEF的距离即为点A到平面CDEF的距离. 平面AED,平面AED, . 又平面CDEF. AK的长即为点B到平面CDEF的距离. 在RtADE中 点B到平面CDEF的距离为. (3)以点A为坐标原点,AD C(,E(0,0,1), -1,1),设平面BCF的法向量n=(x,y,z), 由 得n. 设直线CE与平面BCF所成的角为 则sin. 所以直线CE与平面BCF所成角的正弦值为. 14.(2012福建厦门月考)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BECF且AD=. (1)求证:AE平面DCF
11、; (2)设当取何值时,二面角AEFC的大小为? 【解】 (1)证明:四边形ABCD是矩形,ABDC. 又BE 平面ABE平面DCF. 又平面ABE,AE平面DCF. (2)过点E作交CF于点G, 由已知可得:EGBCAD,且EG=BC=AD, .又EF=2,GF=1. 四边形ABCD是矩形,. . 又平面平面BEFC,平面平面BEFC=BC,平面ABCD. 以C为原点,CB 设BE=m,由得. F(0,0,m+1), . 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 由n=0, n=0,得 令可得平面AEF的一个法向量n. 又是平面CEF的一个法向量, cos即. 解得 当时,二面角AEFC的大小为.
