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1、题41 E、F是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的准线，点，则的最大值是 （ ） A、15 B、30 C、45 D、60（第十三届高二培训题第21题）xy DPFEOl解法1 不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为，故可设点P为，记，由PE到PF的角为，得.又知，代入上式并化简，得.由假设知，所以.由基本不等式得，所以的最大值为30，当时取得最大值.故选B.解法2 如上图，设，则,因为所以的最大值为30.故选B.解法3 由面积的两种表示方法，即，得，因为为锐角，所以的最大值为30.故选B.PyxlFoECA图1解法4 依题意，经过E、F且与椭圆的准线相切于点P的圆，使最大.如图1
2、，不妨设是右准线，点P在x轴上方，则准线方程为，易得圆心C的坐标为，因此点P使最大.又PE、PF的斜率分别为、，设准线轴于点A，则，此时.故选B.评析 一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.解法1运用到角公式与基本不等式求出了正切的最大值，又利用为锐角时单调增，求出了的最大值.解法2将表示成两角差，并利用基本不等式求出了的最大值，进而求出的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,求出了的最大值,再由在上单调增,求出了的最大值.此法颇有新意.解法4则利用平几中“同弧所对的圆周角总大于圆外角”巧妙地解决问题
3、.我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研究方法是代数方法，即解析法而已.解法4告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果.图2ylPoQAEF拓展 经研究，我们还可得到下面的定理 若点P在过椭圆的长轴的一个端点的切线l上移动，则当点P到长轴的距离等于半短轴长时，点P与两焦点连线的夹角取得最大值.x证明 如图2，不妨设的方程为，则以椭圆的上顶点Q为圆心，且过焦点E、F的圆必与相切（设切点为P）（因为）根据同圆Q的弦EF所对的圆周角总大于圆外角，可知就是最大的，此时，又.原命题得证.练习1 在直线上求一点P，使它与点连线的夹角最大.2 足球比赛场
4、地宽为米，球门宽为米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该边锋在距乙方底线多远处起脚射门，能使命中角最大？最大角是多少？ 答案 米题42 椭圆的两焦点是、，M为椭圆上与、不共线的任意一点，I为的内心，延长MI交线段于点N，则的值等于 ( ) A、 B、 C、 D、 （第十三届高二培训题第19题）图1xMyIF1O NF2解法1 如图1，设点M的坐标为，的内切圆半径为r，,又xMyIF1O NF2图2.，.故选B.解法2 如图2，不妨令M为椭圆与轴的正半轴的交点.由已知，I必在线段MO上，且N与O重合.为的内心，.故选B. 评析 按常规，可设,然后求出与（或）的平分线的方程，解方程组
5、求出点I的坐标，令平分线的方程中的，得点N的坐标，再求出与.求比值时如何消去，还不得而知，其复杂程度也是完全可以想象的.作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的. 解法1灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题.解法2更是抓住了选择题的本质特征，运用特殊化思想，轻而易举地解决了问题.由题意，不论点M在椭圆上的何种位置（只要与、不共线即可），的值总是定值，即结论对一般情形成立，故对其中的特殊情形M为椭圆与正半轴的交点时也应当成立，从而排除特殊情形下不成立的选择支，进而得出正确答案.充分显示了运用特殊化思想解某些选择题的优越性.拓展 对此题作研究，可得下面的定理 1 设 、是椭圆的左，右焦点，点
6、在此椭圆上，且点、不共线，椭圆的离心率为，则（1）的内心内分的平分线PM所成的比是定值.（2）的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为定值；的与边相切的旁切圆的圆心外分的平分线的比为定值.图3xPyIF1O MF2（3）由焦点向的的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，为半径的圆上.证明 （1）如图3，设I为的内心，连接、，则在及中由角平分线定理得，所以 .图4xPyI.R F1O F2NM（2）如图4，设旁切圆圆心为，M、N、R为切点，则，图5 xPyR F1O F2Q为定值. 同样的方法可以证明与的边相切的旁切圆的圆心横坐标为定值.如图5，设交与.由外角平分线定理得,由合比定理得，.图6xB
7、yOAPF1F2（3）如图6，过作的外角平分线的垂线，为垂足，延长交的延长线于，则，.由椭圆定义可知，故.又，且，所以.垂足A在以O点为圆心，为半径的圆上.若将定理1中的椭圆该为双曲线，又得定理2 设、是双曲线的两个焦点，点P在此双曲线上，且点、不共线，双曲线的离心率为，则（1） 的内心横坐标是定值，且当点在左支上时，定值为；当点在右支上时，定值为.（2） 的与边（或与边）相切的旁切圆的圆心分的外角平分线的比为定值；的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为常数（当点在右支上时常数为；当点在左支上时，常数为）.（3） 由焦点向的的平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，为半径的圆上. 读者可仿照定理1的
8、证明，证明定理2.题43 过椭圆左焦点作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为 （ ） A、 B、 C、 D、xy图1OFAMBAB （第十一届高二第一试第8题）解法1由及得y图2xOFAB如图1，过A作于M,则 得.故选B. 解法2 设椭圆，又，由、得 又与长轴夹角为，所以 .由、得 , .故选B. 评析 解法1是运用椭圆第二定义求离心率e的,及与的关系沟通了与的关系,也是用此法解题的关键所在解法2则先设出椭圆方程及A、B的坐标，运用焦半径公式带出e ，由及解出与,由AB与长轴夹角为得,又由弦长公式求出，同为，得，从而，是典型的运用方程思想解题的实例 拓展 以此题为背景
9、，对于椭圆、双曲线、抛物线有以下一般结论xy图3OFBCAAB命题1 如图3，过椭圆的焦点作直线交椭圆于两点，若，直线与长轴的夹角为，椭圆的离心率为e,则有 证明 设直线过椭圆的左焦点，过作相应准线的垂线，为垂足过作的垂线与的延长线交于点，则由椭圆定义，可知=于是在中， 当直线过右焦点时，证法与上相同又由于为直线与长轴的夹角，xy图4OFBA命题2 如图4，过双曲线的焦点作直线与双曲线中的一支交于两点，若，且直线与实轴的夹角为，双曲线的离心率为e,则有xy图5OFBA命题3 如图5，过双曲线的焦点作直线与双曲线的两支分别交于两点，若，且直线与实轴的夹角为，双曲线的离心率为e, 则有xy图6OF
10、BA命题4 如图6，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，若=，且直线与抛物线的对称轴的夹角为，则有命题2、3、4的证明与命题1的证明类似，留给读者完成对于焦点在轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点，弦被焦点分成的两段与圆锥曲线的离心率e及直线和轴的夹角之间仍有上述关系成立运用上述命题可得本题如下解答：令，请读者完成下面两题：1过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点：=3：1求该直线的方程（答案：） 2过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（答案：）题44 如果点A的坐标为(1,1)，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，则的最小值为_. （第十一届高二培训题第66题）解 己知
11、椭圆方程可化为，其半长轴长，由椭圆定义，可得，右焦点的坐标为，（此时共线，且A在之间）.评析 此题运用了椭圆定义及，体现了二次曲线的定义在解题中的作用.如果将此题改为求的最大值，又如何解答呢？设，则（此时、A共线且在P、A之间）.拓展 此题可作如下推广：推广1 如果A是椭圆内的定点，则.证明 由椭圆定义，得，则，又F1AF2PP图1xyO，故当P在的延长线上时，；当P在的延长线上时，（如图1）.说明：如果点A在椭圆上，推广1仍成立.F1AF2PP图2xyO推广2 如果A是椭圆外的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则.证明 由椭圆定义，得，于是，故当P在的延长线上时，;当P在线段上时，（如图2
12、）. F1AF2P图3xyOPPP推广3 如果A是椭圆内的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则.证明 当三点共线时，;当P在线段的中垂线上，即时，（如图3）.说明：如果点A在椭圆上，推广3仍成立. 推广4 如果A是椭圆外的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则F1AF2图4xyOPPP（当线段的中点在椭圆内或椭圆上时）.证明 当P在的延长线上时，当P在线段的中垂线上（当线段的中点在椭圆内或椭圆上），即时，（如图4）.以此题为背景，通过猜想与探索，还能得到下面关于圆锥曲线的一些一般结论：F1F2P图5xyOMQ命题1 如图5，若为椭圆内一定点，直线与椭圆交于两点，则分别为椭圆上到及的距离之和的最小和最大的点.证明 设为椭圆上任意一点，以上两不等式左端取等号的条件为点在线段上，右端取等号的条件为点在线段上，即分别为椭圆上到及距离之和的最小和最大点.F1F2P图6xyOMQ命题2 如图6，若为椭圆外一定点，直线与椭圆交于两点，则有（1）点为椭圆上到及距离之差（和）最大（小）点.（2）点为椭圆上到及距离之和（差）最小（大）点. 证明 （1）设为椭圆上任意一点，不等式取等号的条件为点在线段上，不等式取等号的条件为点在线段上，故点为椭圆上到及距离之差（和）最大点.对于（2），同理可证.命题3 如图7，若为双曲线右支内一
