高中数学“三步法”解一元二次不等式 学法指导.doc

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1、高中数学“三步法”解一元二次不等式利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系,三步可求出一元二次不等式的解集,且简便快捷。第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根,第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象,第三步根据图象写出不等式的解集。例1 解不等式。解析:方程的解为。函数的图象如图1。因不等式的解为抛物线在x轴下方对应点的横坐标,所以可得不等式的解集为。点评:作相关二次函数的图象时,可不必作出y轴,因为求解一元二次不等式,只需找出抛物线在x轴上(或下)方对应点的横坐标,与y轴的位置并无关系。例2 解不等式。解析:显然方程无解。函数的图象如图2。因不等式的解为抛物线在x轴上

2、方对应点的横坐标,所以不等式的解集为。点评:对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究,作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。例3 解关于x的不等式。解析:原不等式等价于。方程的根为x=a或,抛物线开口向上。当a=0或a=1时,如图3,原不等式的解集为。当时,如图4,原不等式的解集为。当a1或a0时,如图5,原不等式的解集为。点评:熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象,不必真正画出来。例4 解关于x的不等式。解析:原不等式变形为当a=0时,原不等式的解为x1当a0时,抛物线开口向上,原不等式的解为。点评:解含参数的一元二次不等式问题需要讨论,运用“三步法”

3、解一元二次不等式,分类标准的确定变得轻松自然,容易理解。例5 已知不等式的解集是,求不等式的解集。解析:不等式的解集为,由函数性质知a0.2、为方程的两个根。则,可得不等式变为,由a0,得,所以其解集为。点评:若能发现方程与方程的根互为倒数,a0,想象图象,求解更快捷。有兴趣的同学不妨试一试。例6 已知a0,二次函数。设的解集为A,又已知,若,求实数a的取值范围。解析:由,知二次函数的图象必与x轴相交,其开口方向不确定,需要讨论。当a0时,二次函数的图象开口向上,对称轴,由,如图6知从而,可得。当a0时,二次函数的图象开口向下,对称轴,由,如图7知,从而,可得a2。综上,使成立的实数a的取值范围为(,2)()。点评:若求出方程的根,将得到无理不等式,情况复杂难解。例7 若函数的值域为1,7,试确定x的取值范围。解析:设,由函数的值域为1,7,得。作出的图象,如图8。由题设知,得,所以x的取值范围是。点评:对于不等式,也可以转化为解不等式组,但不如上述解法直观明了。4用心 爱心 专心

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