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1、第5章 线性二次型的最优控制,本章主要内容： 5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器 5.3 输出调节器 5.4 跟踪器,线性二次型问题的特点 （1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）,5.1 线性二次型问题,线性二次性问题的提法： 设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,正定二次型 半正定二次型 实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。 加权矩阵总可化为对称形式。,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,性能指标的物理含义：,加权矩阵的意义：
2、（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。 （2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如： Q(t)可开始取值小，而后取值大,线性二次型问题的本质： 用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。,线性二次型问题的三种重要情形：,5.2 状态调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,5.2.1 有限时间状态调节器问题,物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,因控制不受约束，故沿最优轨线有
3、：,（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）,规范方程组：,写成矩阵形式：,其解为：,下面思路： 确定 与 的关系，带入 （5-6）形成状态反馈,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,即,为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：,（5-13）-（5-12）*F 可得,可实现最优 线性反馈控制,下面思路： 求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大,（5-17）对时间求导,2.应用其性质求解p(t),（5-20）与（5-19）相等，可得,黎卡提方程（Riccati),边界条件：,还可进一步证明，最优性能指标为：,黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为
4、对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。,（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R,3. 状态调节器的设计步骤,（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t),（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t),（4）求解最优轨线x*(t),（5）计算性能指标最优值,例5-1,已知一阶系统的微分方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：,二次型性能指标为：,其中p(t)为黎卡提方程的解,最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：dfun1.m
5、at function dy = dfun1(t,y) dy = zeros(1,1); % a column vector a=-1; q=1; r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)2-q;,利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4); f=0; %initial value sol = ode45(dfun1,1 0,f,options); x = linspace(1,0,100); y = deval(sol,x); plot(x,y); disp
6、(y(100); %p(t0)=y(100),利用matlab进行 最优控制系统仿真,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,5.2.1 无限时间状态调节器问题,说明： 1）要求系统完全能控。 2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应,最优轨线满足下列线性定常齐次方程：,性能指标最优值,可以证明：,P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。,可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。,例5-2,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：
7、,验证系统能控性,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一,解之,利用矩阵P正定的性质,与给定条件 矛盾，故假设 不成立,下面用反证法证明 不是所求的根,最优控制为：,利用矩阵P正定的性质,最优状态调节器闭环系统结构图,闭环系统传递函数,闭环极点为,a2,实根，过阻尼 a2,复根，衰减震荡,利用matlab计算和仿真,A=0 1; 0 0 B=0; 1 a=2 b=1 Q=1 b; b a R=1 K=lqr(A,B,Q,R,0),5.3 输出调节器,5.2.1 有限时间输出调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设
8、控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。 根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题,将（5-29）代入（5-30）,若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：,可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。,有限时间最优输出调节器系统结构图。,说明： （1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。 （2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。,5.2.2 无限时间输出调节器问题,设线性定常系统的状态方程为,假设控制
9、向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：,例5-3,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,验证系统能观性,展开整理得到三个代数方程,P满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控且完全能观，故最优控制为：,解之,利用矩阵P正定的性质,闭环传递函数为：,最优控制系统的结构图：,说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变,利用matlab计算和仿真,A=0 1; 0 0 B=0; 1 C=1 0 D=0 sys=ss(A,B,C,D) Q=1
10、 R=1 K=lqry(sys,Q,R,0),5.4 跟踪器,设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）,假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。,5.4.1 线性时变系统的跟踪问题,解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式,规范方程组：,写成矩阵形式：,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：,其解为：,（5-43）对时间求导,2.应用
11、系统特性求解p(t)，g(t),（5-45）与（5-46）相等，可得,边界条件：,对所有 均成立，推出：,综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：,最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。,最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。,互为负的转置关系（伴随矩阵）,由（5-54）可知，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部 的信息。 与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输 出 的全部未来值。,关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）,最优跟踪系统结构图,伴随矩阵,设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）,控制向量 不受约
12、束 ，用 表示期望输出，则误差向量为,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,5.4.2 线性定常系统的跟踪问题,当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：,线性定常最优跟踪系统结构图,例5-4,已知一阶系统的状态方程：,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：,二次型性能指标为：,其中p(t)， g(t)为下列方程的解：,第5章 结束语,研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。 调节器问题：状态调节器、输出调节器 跟踪问题 与经典控制问题的关系 线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题。 线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。 在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。,本章要点：状态调节器、输出调节器和跟踪问题的控制规律,本章作业： 秦寿康 教材，P144 习题1，2，3，4（仿真研究），6，9,
