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1、湖南师大附中20112012学年度下学期期末考试高一数学试题时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I部分100分，必考II部分50分）命题人：湖南师大附中高一数学备课组 张宇必考I部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列命题正确的是 （ B ） A.第一象限角是锐角 B.相等向量一定共线 C.终边相同的角一定相等 D.小于的角是锐角2sin(-3300)的值为 （ C ）A B C D3. 若为角终边上一点，则 （ A ）A B C D4. 函数的最小正周期是 （ B ）A B C D5如图,，为互相垂直的单位向
2、量，则向量可表示为 ( C )A B C D6. 已知平面向量，且，则 （ D ）A3 B 3 C1 D17. 在四边形中，如果，且,则四边形的形状为 （ C ）A. 梯形 B. 菱形 C. 长方形 D. 正方形8.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式为 ( D )A. B.C. D.二、填空题：本大题共个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上.9. 1 .10设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 2 .11. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则. 12.已知且，则在方向上的投影为.13.已知，且，则 .14. 设函数的图象
3、为，给出下列命题：图象关于直线对称； 函数在区间内是增函数；函数是奇函数； 图象关于点对称.其中，正确命题的编号是 .（写出所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本题满分10分）已知，求，的值.解:，=.16.（本题满分10分）已知.（1）若的夹角为45，求； （2）若，求与的夹角.解：（1） （2），.17.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求的最大值及取最大值时的集合.解：由已知，.（）由,，得增区间为.（）当，即时，取最大值，此时的集合为.18.（本小题满分12分）已知向量，函数的图象的两相
4、邻对称轴间的距离为.（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若，且有且仅有一个实根，求实数的值.解：由题意， ，（1）两相邻对称轴间的距离为， .（2）由（1）得， ， ， .（3），且余弦函数在上是减函数， ，令=，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知.必考II部分19(本小题满分12分)在等差数列和等比数列中，的前10项和.（1）求和；（2）现分别从和的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.解：（1）由是等差数列得，又，.又是等比数列，且，,，.（2）因为前3项为1，2，3，前3项为1，2，4，所以基本事件为：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1
5、），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）共9种，设两项值相等为事件A，则事件A包括2种：（1，1），（2，2）,.20(本小题满分12分) 已知,（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，当时，求函数的取值范围.解：（1）由, 得.由.因为，所以.由，得.（2）当时，因此.由单调性可得，函数的取值范围为.21(本小题满分13分) PABCD如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明平面PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值
6、.解：（1）如图，在四棱锥中，因为底面是矩形，所以且,又因为,故为异面直线与所成的角.在中，,所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.（2）证明：由于底面是矩形，故,又由于，因此平面PDC,而平面，所以平面平面.（3）在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.由于平面平面，而直线CD是平面与平面的交线，故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.PABCDEE在中，由于可得.在中，由平面，得平面，因此,在中，.在中，.所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为.22(本小题满分13分) 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时，台风侵袭范围的圆形区域半径为，由，可知，=,在 OPQ中，由余弦定理，得 =若城市受到台风的侵袭，则有，即，整理，得，解得12t24,答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时.6用心 爱心 专心
