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1、高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修13.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算1.对数的定义 一般地，如果ax=N(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的_，N叫做对数的_. 对数恒等式为_.2.对数的运算法则 指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）aman=am+n; （1）_;（2）=ama-n=am-n; （2）_;（3）(am)n=amn; （3）_.二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_；loga(MN)=logaM+logaN.设log
2、aM=p,logaN=q,则ap=M,aq=N,MN=apaq=ap+q.loga(MN)=p+q=logaM+logaN.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数_除数的对数；loga=logaM-logaN.=ap-q,loga=p-q=logaM-logaN.3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数_幂指数；loga(Nn)=nlogaN.根据对数恒等式:=N,Nn=(N)n=.loga(Nn)=nlogaN.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数_根指数.logalogaN.=,由法则3得loga=loga=logaN.三、对数的性质1._和_没有对数. 因为a0，所以不论b是什么数，都
3、有ab0，即不论b是什么数，N=ab永远是正数，这说明在相应的对数式 b=logaN中真数N永远是正数，换句话说负数和零没有对数.2.1的对数是_. 因为a0=1(a0，且a1)，所以根据对数的定义可得loga1=0.3.底数的对数等于_. 因为a1=a，根据对数的定义知logaa=1.四、一组重要的对数公式换底公式1.logab=,即有logcalogab=logcb;2.logba=，即有logablogba=1；3.=logab.疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？考试大纲要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数. 对数换底公式：logbN=(a0且a1，b0且b1，N
4、0)，推论：logab=，logab.更特别地有logaan=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a0，a1，N0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a0且a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.从定义不难发现无论是指数式ab=N，还是对数式logaN=b都反映的是a、b、N三数之间的关系.在对数符号logaN中，若a0，则N为某些值时，logaN不存在，如log(-2)8不存在.若a=0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不
5、唯一.若a=1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一.因此规定a0且a1.因为logaN=bab=N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N0.问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)loga1=0(1的对数是0)；(2)logaa=1(底数的对数是1)；(3)N=N(对数恒等式)；(4)logaN=(b0且b1)(换底公式)；(5)logaM+logaN=logaMN；(6)logaM-
6、logaN=loga；(7)nlogaN=logaNn；(8)logaN=logamNn.以上各式均有条件a0且a1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误： loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga=，logaNn=(logaN)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号logaN整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算.典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式：210=1 024；10-3=；0.33=0.027；e0=
7、1.(2)将下列对数式写成指数式：log0.46.25=-2；lg2=0.301 0；log310=2.095 9；ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解.答案:(1)log21 024=10；lg=-3；log0.30.027=3；ln1=0.(2)0.4-2=6.25；100.301 0=2；32.095 9=10；ex=23.14.例2 计算：log2+log212-log242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对
8、数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=(log27-log248)+log23+2log22-(log27+log22+log23)=log27-log23-log216+log23+2-log27-=-.解法二：原式=log2(12)=-.例3 求下列各式的值：(1)；(2)7lg20()lg0.7；(3)log2(1+)+log2(1+)；(4)lg().思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式N=N化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解.(4)运用对数运算法则巧去根号.
9、解答:(1).(2)设x=7lg20()lg0.7，则lgx=lg20lg7+lg0.7lg()=(lg2+1)lg7+(lg7-1)(-lg2)=lg7+lg2=lg14，x=14，即7lg20()lg0.7=14.(3)log2(1+)+log2(1+)=log2(1+)2-()2=log22=log2=.(4)lg()=lg()2=lg(3+3-+2)=lg10=.例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么-等于( )A.1 B.2 C.3 D.4思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=，0.011 2=，两式相除得=1 000.-=1.
10、解法二：用对数解.由题意，得alg11.2=3，blg0.011 2=3，-= (lg11.2-lg0.011 2)=1.答案:A例5 方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是_.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x+2)=lg(2x3)，比较真数，得方程4x+2=2x3，利用换元法，解得2x=1或2x=2.所以x=0或x=1.答案:x1=0，x2=1知识导学1.对数的概念 在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即logaN=bab=N.2.换底公式 一般地，我们称logaN=为对数的换底公式.换底
11、公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程.3.常用对数与自然对数的概念 有了对数的概念后，要求log0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28，是一个无理数)为底的对数. 有了常用对数和自然对数再利用对数的运
12、算性质，我们就可以求log0.840.5的值了.4.对数恒等式 对数恒等式：=N. 它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明.ab=N，b=logaN.ab=N，即=N.如=5、=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析 对数换底公式口诀： 换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子.问题导思 指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢. 有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可
13、以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减， 幂的乘方取对数， 要把指数提到前.典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用logaN=bab=N.典题变式 已知loga2=m，loga3=n，则a2m-n=_.解答：loga2=m，loga3=n，am=2，an=3.a2m-n=.绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值.典题变式 计算2log525+3log264-8log71的值为( )A.14 B.8 C.22 D.27答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式N=N把任何正数N化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.典题变式
