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1、第八章 圆锥曲线方程二 双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质【考题分类】（一）选择题（共10题）1.（安徽卷理5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、【答案】C【解析】双曲线的，所以右焦点为.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.2.（福建卷理7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为
2、是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。3.（辽宁卷理9文9）设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 4.（全国卷理9）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，p=，则P到x轴的距离为(A) (B) (C
3、) (D) 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以，故P到x轴的距离为5.（全国卷文8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cosP=4【解析2】由焦点三角形面积公式得
4、：，46.（全国新卷理12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为(A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，则有，两式相减并结合得，从而，即，又，解得，故选B7.（全国新卷文5）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A） （B） （C） （D）【答案】D 解析：易知一条渐近线的斜率为，故8.（天津卷理5）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A） （B）（C） （D） 【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛
5、物线的准线上，所以F（-6，0）是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，所以双曲线的方程为，故选B。9.（浙江卷理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A） （B） （C） （D）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题10.（浙江卷文10）设O为坐标原点，,是双曲线（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足P=60，OP=,则该双曲线的渐
6、近线方程为（A）xy=0 （B）xy=0（C）x=0 （D）y=0解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题（二）填空题（共8题）1.（北京卷理13文13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。【答案】，解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为2.（福建卷文13）若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则等于。【答案】1【解析】由题意知，解得b=1。【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题
7、。3.（江苏卷6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_【答案】4 解析考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。4.（江西卷理15文15）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则= 【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,5.（上海卷理13）如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是 【答案】 4ab=1 解析：=，点P在双曲线上，化简得4ab=16.（上海卷文13）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐
8、标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 。【答案】4ab=1解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又双曲线方程为，=，化简得4ab=17.（天津卷文13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。【答案】【解析】由题意知，双曲线的一个焦点为（4，0），即，又因为已知双曲线的一条渐近线方程是，所以有，即，可解得，故双曲线的方程为。【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、待定系数法求双曲线方程，考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度。8.（上海春卷7）已知双曲线C经过点（1，1）
9、，它的一条渐近线方程为。则双曲线C的标准方程是_。答案：。解析：设双曲线的方程为，将点代入可得。故答案为。（三）解答题（共4题）1.（广东卷理20）一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式； （2）若过点H(0, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。故，即。（2）设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，即。同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而，即。2.（全国卷理21文22）己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 （）求C的离心率； （）设
10、C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【分析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率。（2）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。【解析】（）由题设知，的方程为：，代入C的方程，并化简，得，设 ，故不妨设，.又 ，故 ，解得，或（舍去），故，连结MA，则由，知，从而,且轴，
11、因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切. 3.（重庆卷理20）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.（）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（）如题（20）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGH的面积4.（重庆卷文21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.（）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值. - 12 -用心 爱心 专心
