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1、高中数学综合测评北师大版选修4-1综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.球的截面是().A.圆B.三角形C.椭圆D.以上都有可能答案:A2.如图,ABC内接于O,ACB=45,则AOB=().A.22.5B.45C.90D.135解析:根据圆心角等于圆周角的2倍,得AOB=2ACB=90.答案:C3.如图,PA,PB是O的切线,切点分别为A,B,点C在O上.如果P=50,那么ACB=().A.40B.50C.65D.130解析:PA,PB是O的切线,PA=PB,PAB=ACB,PAB
2、=PBA.又P=50,PAB=180-P2=65,ACB=65.答案:C4.如图所示的左图经过一次变换得到右图,则这种变换可能是().A.平移变换B.旋转变换C.反射变换D.相似变换答案:D5.平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离之比为75的点的轨迹是().A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由题意知,所求轨迹的离心率e=751,所以点的轨迹是双曲线.答案:C6.如图所示,DE是ABC的中位线,F是BC上任意一点,AF交DE于点G,则有().A.AGGFB.AG=GFC.AGGFD.AG与GF的大小关系不确定解析:DE是ABC的中位线,在ABF中,DGBF.又AD=DB,点G平分AF,
3、即AG=GF.答案:B7.椭圆的左、右焦点分别是F1,F2,且长轴长2a=5,P是椭圆上一点,且PF1=2,则PF2=().A.1B.2C.3D.4解析:PF1+PF2=2a,PF2=2a-PF1=5-2=3.答案:C8.如图,ABCD,AC,BD相交于O点,BO=7,DO=3,AC=25,则AO=().A.10B.12.5C.15D.17.5解析:ABCD,AOOC=BOOD=73,AOAC=710,AO=710AC=71025=352=17.5.答案:D9.如图,一个圆柱被一个平面所截,截口椭圆的长轴长为5,短轴长为4,被截后的几何体的最短母线长为2,则这个几何体的体积为().A.20B.
4、16C.14D.8解析:椭圆短轴的长即为圆柱底面直径,从而可知几何体最长母线长为2+52-42=5.用一个同样的几何体补在上面,可得底面半径为2,高为7的圆柱,其体积的一半为所求几何体的体积.答案:C10.F1,F2是双曲线的左、右焦点,实轴长2a=2,虚轴长2b=2,点P在双曲线上,且F1PF2=60,则PF1PF2=().A.2B.4C.6D.8解析:点P在双曲线上,(PF1-PF2)2=(2a)2=4,PF12+PF22=(PF1-PF2)2+2PF1PF2=4+2PF1PF2.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=4+2PF1PF2
5、-F1F222PF1PF2=cos 60=12,又F1F2=2a2+b2=22,F1F22=8,4+2PF1PF2-82PF1PF2=12,解得PF1PF2=4.答案:B11.如图,在ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于点F,则DFFE=().A.52B.21C.31D.41解析:如图,过点D作DGAC,交BC于点G,则DG=DB=3CE,即CEDG=13.又DFFE=DGCE,所以DFFE=31.答案:C12.小华同学自制了一个简易的幻灯机,其工作情况如图所示,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30 cm,幻灯片到屏幕的距离是1.5 m,幻
6、灯片上小树的高度是10 cm,则屏幕上小树的高度是().A.50 cmB.500 cmC.60 cmD.600 cm解析:如图所示,把光源看成点O,幻灯片中的小树看成线段AB,屏幕中的小树看成线段AB,过点O作OCAB于点C,交AB于点C,则AB=10 cm,OC=30 cm,CC=1.5 m=150 cm,OC=OC+CC=180 cm,ABAB,ABAB=OCOC,AB=ABOCOC=1018030=60(cm).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方
7、体的面上的正射影可能是(要求:把可能的图的序号都填上).答案:(2)(3)14.如图,在ABC中,AD平分BAC,且BD=3,BC=5,则ABAC=.解析:BC=BD+DC,DC=BC-BD=5-3=2.又AD平分BAC,ABAC=BDDC=32.答案:3215.如图,PB,PD为O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD=.解析:由题意得PAPB=PCPD,PA(PA+AB)=(PD-CD)PD,5(5+7)=(PD-11)PD,解得PD=-4(舍去)或PD=15.又PACPDB,PAPD=ACBD,即515=2BD,解得BD=6.答案:616.椭圆的焦距、短轴长、长轴
8、长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.由(2b)2=2c2a,得b2=ac.又b2=a2-c2,a2-c2=ac.a2-c2-ac=0.两边同除以a2,得1-ca2-ca=0.e2+e-1=0.解得e=5-12或e=-5-12(舍去).答案:5-12三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)如图所示,O是ABC内一点,且ABAB,BCBC.求证:ACAC.证明:ABAB,OAOA=OBOB.又BCBC,OBOB=OCOC.OAOA=OCOC.ACAC.18.(12分)(2014江苏高
9、考)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:OCB=D.分析:要证明OCB=D,因OCB=B,只需证B=D,而同弧所对的圆周角相等,即B=D成立,因此得证.证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故OCB=B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故B,D为同弧所对的两个圆周角,所以B=D.因此OCB=D.19.(12分)如图所示,在梯形ABCD中,ABDC,AD=BC,以AD为直径的O交AB于点E,O的切线EF交BC于点F,求证:EFBC.证明:AD是直径,AED=90.DEF+BEF=90.EF切O于点E,DE是弦,DEF=DAE.DAE+BEF=90.A
10、D=BC,ABDC,B=DAE.B+BEF=90.BFE=90,即EFBC.20.(12分)如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若A=90,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:如图,连接DE,根据题意,在ADE和ACB中,ADAB=mn=AEAC,即ADAC=AEAB.又DAE=CAB,从而ADEACB.因此ADE=ACB.所以C,B,D,E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0
11、的两根为x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12.如(1)中图所示,取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于点H,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A=90,故GHAB,HFAC.从而HF=AG=5,DF=12(12-2)=5.则DH=HF2+DF2=52.故C,B,D,E四点所在圆的半径为52.21.(12分)(2014课标全国高考)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)ADDE
12、=2PB2.分析:(1)欲证BE=EC,由于在圆O中,可证BE=EC,利用相等的圆周角所对的弧相等,则可证DAC=BAD,故应由条件转化为角的关系上去寻找,我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理.对于(2),由结论中出现ADDE,而D是AE与BC两弦之交点,联想到相交弦定理可得ADDE=BDDC.从而使问题转化为证明2PB2=BDDC,而P,B,D,C在一条直线上,且D又是PC的中点,而PA=PD,PA是切线,又联想到切割线定理得PA2=PBPC,充分利用关系转化可得答案.解:(1)连接AB,AC,由题设知PA=PD,故PAD=PDA.因为PDA=DAC+DCA,PA
13、D=BAD+PAB,DCA=PAB,所以DAC=BAD,从而BE=EC.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PBPC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得ADDE=BDDC,所以ADDE=2PB2.22.(14分)已知圆锥的母线与轴线的夹角为,圆锥嵌入半径为R的“焦球”,平面与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.分析:转化到相应的平面中求解,注意切线长定理的使用.解:如图,设F为抛物线的焦点,A为顶点,FA的延长线交准线m于点B,AF的延长线与PO交于点C.连接OF,OA.平面与圆锥轴线和圆锥母线与轴线夹角相等,APC=ACP=.由切线长定理知,OA平分PAC,OAPC.OCA+OAC=90,AOF+OAC=90.OCA=AOF=.在RtOAF中,AF=OFtanAOF=Rtan .又由抛物线结构特点,AF=AB.FB=2Rtan ,即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtan .7 / 7
