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1、复合函数的性质探究在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？一、概念复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=fg（x）叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合
2、在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如af（x）+bg（x）或af（x）g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=fg（x），称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y
3、=fg（x）为函数f和g复合一次得到.二、定义域1.已知f（x）的定义域，求fg（x）的定义域思路：设函数f（x）的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）D，解得xE，E为y=fg（x）的定义域.例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f对lnx的作用范围不变，所以02.已知fg（x）的定义域，求f（x）的定义域思路：设fg（x）的定义域为D，即xD，由此得g（x）E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以xE，E
4、为f（x）的定义域.例2已知f（3-2x）的定义域为x-1，2，则函数f（x）的定义域为.解：f（3-2x）的定义域为-1，2，即x-1，2，由此得3-2x-1，5.所以f的作用范围为-1，5；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x-1，5，即函数f（x）的定义域为-1，5.3.已知fg（x）的定义域，求fh（x）的定义域思路：设fg（x）的定义域为D，即xD，由此得g（x）E，f的作用范围为E；在fh（x）中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）E，解得xF，F为fh（x）的定义域.例3若函数f（2x）的定义域为-1，1，则f（log2x）的定义域为.解：f（2x）的定义域为-1，1，即
5、x-1，1，由此得2x12，2，所以f的作用范围为12，2.在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x12，2，解得x2，4，即f（log2x）的定义域为2，4.评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.三、值域1.可以化归为二次函数的复合函数求值域例4求函数y=2x+41-x的值域.分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.解：令t=1-x（x1），则x=1-t2，其中t0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，x1，t0
6、，y=-2（t-1）2+4（t0）（-，4，即原函数的值域是（-，4.2.可以化归为一次函数的复合函数求值域例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t-1）与t=sinx+cosx复合而成.因为t=sinx+cosx=2sin（x+4），所以t-2，-1）（-1，2.结合一次函数图像可知函数值域为-2-12，-1）（-1，2-12.评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题
7、过程中必须紧扣定义域.3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.因为xR，所以t=x2+x+1=（x+12）2+3434，结合反比例函数图像可知y=2+1t（2，103，所以原函数的值域为（2，103.4.可以化归为y=ax+bx（a，bR*）型函数的复合函数求值域例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-si
8、nx复合而成.sinx-1，1，t=2-sinx1，3，由u=t+4t的图像可知u4，5，故y=-（t+4t）+2-3，-2，所以原函数的值域为-3，-2.评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g（x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.四、单调性复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：y=f（u）增
9、减u=g（x）增减增减y=f（g（x）增减减增以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例8已知y=loga（2-ax）在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1，（1）若a1，内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x0，1，2-ax0，即2-ax的最小值2-a10，解得a1（2）若0内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x0，1，2-ax0，即2-ax的最小值2-a00，恒成立，0综上所述，0评注：复合函数
10、y=f（g（x）的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x）为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x）为减函数.当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.五、考题回顾复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，
11、对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解：由题意设P（x0，1x0），（x00）则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.令x0+1x0=t（t2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t2）.当a2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，2a2-4a
12、+2=8，a=-1，a=3（舍去）.当a2时，PA2min=f（a）=a2-2，a2-2=8a=10，a=-10（舍去）.综上所述：a=-1或a=10.评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x）-c，其中c-2，2，求函数y=h（x）的零点个数.解：（1）a=0，b=-3.（2）略.（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d-2，2.当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.由（1）知f（x）=3（x+1）（x-1）.当x（2，+）时，f（x）0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+）无实根.当x（1，2）时，f（x）0，于是f（x）是单调增函数.又f（1）-d0，y=f
