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1、第三章导数及其应用测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的),1.若f(x0)2,则等于( )A2 B1 C1 D.2下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2xsin x3已知P点在曲线F:yx3x上,且曲线F在点P处的切线与直线x2y0垂直,则点P的坐标为()A(1,1) B(1,0)C(1,0)或(1,0) D(1,0)或(1,1)4函数f(x),则()Af(x)在(0,)内是减函数Bf(x)在(0,)内
2、是增函数Cf(x)在内是减函数Df(x)在内是增函数5若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D96已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不正确7如图,过函数yxsin xcos x图象上点(x0,y0)的切线的斜率为k,若kg(x0),则函数kg(x0)的图象大致为( )8函数f(x)xex在点(1,e)处的切线方程为( )Ay2ex3e By2exeCyex Dyx1e9设f(x)x2(2x),则f(x)的单调增区间是( )A. B.C(,0)
3、 D(,0)10设二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x),f(0)0,对于任意的实数x恒有f(x)0,则的最小值是( )A2 B0 C2 D4第卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分把答案填在题中的横线上)11函数f(x)x在(0,)上的最小值为_,此时x_.12已知函数yax与y在(0,)上都是减函数,则函数yax3bx25的单调减区间为_13函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为_14若曲线yx32ax22ax上任意点处切线的倾斜角都是锐角,则整数a的值为_15若函数yx33axa在(1,2)内有极小值
4、,则实数a的取值范围是_三、解答题(本大题共4个小题,共25分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(6分)已知f(x)x2axb,g(x)x2cxd,且f(2x1)4g(x),f(x)g(x),f(5)30,求a,b,c,d的值17(6分)设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1,11)(1)求a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性18(6分)某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位:万元),成本函数为C(x)460x5(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f
5、(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示:利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?19(7分)已知函数f(x)x3ax2bxc,曲线yf(x)在点x1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若x时,yf(x)有极值(1)求a,b,c的值;(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值参考答案1. 解析:f(x0)1.答案:C2. 解析:1,(3x)3xln 3,(x2cos x)2xcos xx2sin x.答案:B3. 答案:C4. 解析:f(x).当x时,tan xx,所以sin xxcos x,所以xcos
6、xsin x0,即f(x)0;当x时,xcos xsin x10,所以f(x)0;当x时,cos x0,所以xcos xsin x0,即f(x)0.综上可知,对于x(0,),总有f(x)0,所以f(x)在(0,)内是减函数选A.答案:A5. 解析:由题意得f(x)12x22ax2b.因为函数f(x)在x1处有极值,所以f(1)0.所以122a2b0,即ab6.又因为a0,b0,由基本不等式得ab,即ab229,故ab的最大值是9.答案:D6. 解析:f(x)6x212x6x(x2)因为f(x)在(2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,所以当x0时,f(x)最大m,所以m3.从而f(2)3
7、7,f(2)5,所以最小值为37.答案:A7. 解析:因为ysin xxcos xsin xxcos x,所以kg(x0)x0cos x0.易知g(x0)为奇函数,且x时,g(x0)0.故选A.答案:A8. 解析:因为f(x)exxex,所以f(1)2e.所以切线方程为ye2e(x1),即y2exe.答案:B9. 解析:f(x)2x2x3,f(x)4x3x2.由f(x)0,得0x.答案:A10. 解析:因为f(0)0,且对于任意实数x恒有f(x)0,所以所以2220.答案:B11. 答案:4212. 解析:根据题意,函数yax与y在(0,)上都是减函数,则a0,b0.由yax3bx25,得y3
8、ax22bx,令y0,可得x0或x,故所求减区间为,(0,)答案:,(0,)13. 解析:令F(x)f(x)2x4,F(x)f(x)2,又对任意xR,f(x)2,所以F(x)0,F(x)在xR上为增函数,故F(x)0的解集为(1,),即f(x)2x4的解集为(1,)答案:(1,)14解析:f(x)3x24ax2a,由题意知f(x)0恒成立,则16a224a0,得0a,故a的值取1.答案:115. 解析:y3x23a,当a0时,y0,函数yx33axa为单调函数,不合题意,舍去;当a0时,y3x23a0x,不难分析,当12,即1a4时,函数yx33axa在(1,2)内有极小值答案:1a416.
9、解:由f(2x1)4g(x),得(2x1)2a(2x1)b4(x2cxd),即4x2(42a)xab14x24cx4d,所以由f(x)g(x),得2xa2xc,即ac,由可得ac2,所以f(x)x22xb.又f(5)30,即2510b30,解得b5,将a,b的值代入得d.综上可得a2,b5,c2,d.17. 解:(1)对f(x)求导得f(x)3x26ax3b.由于f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1,11),所以f(1)11,f(1)12,即解得a1,b3.(2)由a1,b3得f(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0,解得x1或x3;令f(x)0,解得1x
10、3.所以当x(,1)时,f(x)是增函数;当x(3,)时,f(x)也是增函数;当x(1,3)时,f(x)是减函数18. 解:(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5(xN*,且1x20);MP(x)P(x1)P(x)30x260x3 275(xN*,且1x19)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9),因为x0,所以P(x)0时,x12,所以当0x12时,P(x)0,当x12时,P(x)0,所以当x12时,P(x)有最大值即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大19. 解:(1)由f(x)x3ax2bxc,得f(x)3x22axb.当x1时,切线l的斜率为3,可得2ab0.当x时,yf(x)有极值,则f0,可得4a3b40.由解得a2,b4.设切线l的方程为y3xm.由原点到切线l的距离为,则,解得m1.因为切线l不过第四象限,所以m1.由于切点的横坐标为x1,所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5,所以f(x)3x24x4.令f(x)0,得x12,x2.x3,2)2f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x2处取得极大值f(2)13.,在x处取得极小值f.又f(3)8,f(1)4,所以f(x)在3,1上的最大值为13,最小值为.7