《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练新人教B版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练新人教B版选修1-1(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练新人教B版选修1-13.3.2 利用导数研究函数的极值课后导练基础达标1.若函数y=f(x)可导,则“f(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A2.函数y=1+3x-x3有()A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3解析:y=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y=0得x1=-1,x2=1.当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-1x0,函数y=1+3x-x3
2、是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数.当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.答案:D3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于()A.2B.3C.4D.5解法一:(直接法)f(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,所以a=5.故选D.解法二:(验证法)当a=2时,f(x)=3x2+4x+3=0,无解,排除A;当a=3时,f(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件,排除B;当a=4时,f(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件,排除
3、C,故选D.答案:D4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的()A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为-C.极小值为-,极大值为0D.极小值为0,极大值为解析:f(x)与x轴切于(1,0)点,f(x)=3x2-2px-q.f(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,p=2,q=-1.f(x)=x3-2x2+x.fmax=,fmin=f(1)=0.故选A.答案:A5.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是()A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=
4、x3+6x2-9x解析:三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,由题设知,f(1)=3+2b+c=0,f(3)=27+6b+c=0,b=-6,c=9.f(x)=x3-6x2+9x;f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时,f(x)max=4;当x=3时,f(x)min=0,满足条件.答案:B6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是_.解析:利用导数,由题设可得f(x)=3x2-3b,若该函数在(0,1)内有极小值时,只需该二次函数的较大根在此区间内即可,即0b1,从而有0b1成立.答案:0b0)
5、的极大值为正数,极小值为负数,则a的范围是_.解析:f(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a0),令f(x)=0,得x=a,当-axa时,f(x)a或x0,函数递增.f(-a)=-a3+3a3+a0,f(a)=a3-3a3+a.答案:a8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_.解析:x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2),f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.f(2)=c2-8c+12=0.c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,c=6.答案:69.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时
6、取得极值,且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.解:(1)由f(-1)=f(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,a+b+c=-1.a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x,f(x)=x2-=(x-1)(x+1);当x1时,f(x)0;当-1x1时,f(x)0.函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,
7、(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.解:(1)f(x)=alnx+bx2+x,f(x)=+2bx+1.由极值点的必要条件可知:f(1)=f(2)=0,a+2b+1=0且+4b+1=0,解方程组得a=-,b=-.f(x)=-lnx-x2+x.(2)f(x)=-x-1-x+1.当x(0,1)时,f(x)0,当x(2,+)时,f(x)0,在(1,2)上f(x)0.故f(x)在(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x0=1.(2)解法一:f(x)=3ax2+2bx+c,由f(1)=0,f(2
8、)=0,f(1)=5,得解得a=2,b=-9,c=12.解法二:设f(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,又f(x)=3ax2+2bx+c,所以a=,b=-m,c=2m,f(x)= x3-mx2+2mx.由f(1)=5,即-m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12.13.(2005全国高考,21)设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.解:(1)f(x)=3x2-2x-1.若f(x)=0,则x=-,1.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表.x(-,-)-(-,
9、1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由此可知x取足够大的正数时,有f(x)0,x取足够小的负数时有f(x)0.所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.结合f(x)的单调性可知.当f(x)的极大值+a0,即a(1,+)时,它的极小值也大于0,因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,它在(-,-)上.所以当a(-,-)(1,+)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.拓展探究14.已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex,其中b,cR为常数.若b24(c-1),讨论函数f(x)的单调性.解析:求导得f(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b24(c-1),故方程f(x)=0,即x2+(b+2)x+b+c=0有两根;x1=令f(x)0,解得xx2;又令f(x)0,解得x1xx2,故当x(-,x1)时,f(x)是增函数;当x(x2,+)时,f(x)是增函数;但当x(x1,x2)时,f(x)是减函数.5 / 5