《高中数学 解析几何中的范围问题素材 新人教A版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 解析几何中的范围问题素材 新人教A版.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、解析几何中的范围问题（研究性学习之二） 在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机
2、的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上 ，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；（2）当 时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.解：（1）由已知设直
3、线AP的方程为yk(x1)，即kxyk0点M到直线AP的距离为1 ，解得 或 所求m的取值范围为 .（2）根据已知条件设双曲线方程为 当 时，点M的坐标为（ ）.A(1,0)， ，点M到直线AP的距离为1，APQ的内切圆半径r1，PAM45， （不妨设点P在第一象限）直线PQ的方程为 ，直线AP的方程为yx1因此解得点P的坐标为（ ）将点P坐标代入双曲线方程 得 所求双曲线方程为 即 .点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会
4、逐渐拨开云雾，寻出解题方向.例2、设椭圆 的两个焦点是 ，且椭圆上存在点P使得直线 垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点 的准线，直线 与L相交于点Q，若 ，求直线 的方程.分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有 ， 便是特设条件中隐蔽的不等关系.对于（2），欲求直线 的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.解：（1）由题设知 设点P坐标为 ，则有 化简得 将与 联立，解得 m0，且 m1即所求m的取值范围为 .（2）右准线L的方程为 设点 （）将 代入得 又由题设知 由得 ，无
5、解.（）将 代入得由题设得 由此解得m2从而有 于是得到直线 的方程为 点评：对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 对于（2），以求解点P坐标 为方向，对已知条件 进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.二、“圆锥曲线的有关范围”之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。例、以 为焦点的椭圆 与x轴交于A，B两点（1）过 作垂直于长轴的弦MN，求AMB的取值范围；（2）椭圆上是否存在点P，使APB120？若存
6、在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：（1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M在第一象限，则易得 ，设A(a,0)，B(a,0)，则AMB为直线AM到BM的角，又 利用公式得此时注意到椭圆离心率的范围：0e0，y0根据公式得 整理得 又这里 代入得 此时注意到点P在椭圆上，故得 由得 由得 于是可知，当 时，点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ；当 时，点P不存在.三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求
7、某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。例1、已知椭圆的一个顶点A(0,1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线 的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由 又b1， 椭圆方程为设直线l的方程为ykxm 将代入得 由题意且 点P坐标为 又根据题意知M、N关于直线AP对称，故有 于是将代入得 因此可知，所求k的取值范围为 .例2、已知椭圆C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于点M，又 （1）求直线l的方程；（2）求椭圆C
8、的长轴长的取值范围.解：（1）由题意设椭圆C的方程为 .直线l的方向向量为 亦为直线l的方向向量直线l的斜率 因此，直线l的方程为 即 （2）设 将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得 由题设 且 又这里M(1,0)由 得 进而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得1a0确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：ab0，双方联合推出2a的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条
9、件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、 2、 3、 4、 例、已知椭圆的焦点为 ，过点 且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B， ，又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦AC的垂直平分线方程为ykxm，求m的取值范围.解：（1）由题设得2a10，c4a5，b3，c4椭圆方程为 （2）（设而不解）设 则由题意得 故有点 A、C在椭圆 上 两式相减得 由及所设得 弦AC的垂直平分线方程为 由题意得注意到当x4时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部故得 于是由、得 所求的取值范围为 点评：此题解法充分体现了“以我为主”的思想。
10、以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略，本解法以运用自设参数为主而将所给的ykxm放在十分次要的位置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以不用直线方程ykxm与椭圆方程联立。五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用“相等”与“不等”是辩证的统一，根据“相等”与“不等”之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等”关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等”关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。
11、圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：1、 2、 例、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与 成等比数列，求离心率e的取值范围.分析：寻求e的范围的一般途径为（1）认知或发掘出本题的不等关系；（2）将（1）中的不等关系转化为关于a,b,c的不等式；（3）将（2）中的不等式演变为关于e的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.其中，有关双曲线上点P处的两条焦点半径 的问题，定义中明朗的等量关系： 是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系： 则是寻求参量范围的重要依据。解：（1）确立不等关系注意到这里 （2）不等关系演变之一设左支上的点P到左准线的距离为d，则由题意得 （变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与e的联系） 又点P在双曲线左支上 （点P在左支这一条件的应用）由解得将代入得（3）不等关系演变之二：由得 故解得 于是可知，所求离心率e的范围为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 用心 爱心 专心
