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1、江苏省南师附中、淮阴中学、姜堰中学、海门中学 2020 届高三下学期四校4 月联考数学试题 一、填空题 1. 已知集合11Axx ，1,0,1B，则ABI_ 2. 已知复数z 满足11i zi（i为虚数单位） ，则 z 的实部为 _ 3. 若一组样本数据 8,9, ,9,10 x 的平均数为9，则该组数据的方差为_ 4. 根据如图所示伪代码，最后输出的 i的值为 _ 5. 从2名男同学和3名女同学中选 2人参加某项活动，则至少有1名女同学被选中 的 概率为 _ 6. 双曲线 2 2 1 3 y x的准线方程为_ 7. 已知 * n anN为等差数列， 其公差为2， 且 6 a是 2 a 与8a
2、的等比中项，n S为 n a的前n项和，则 10 S 的值为 _ 8. 已知函数 2 1 ln 2 fxxxax，若函数fx在区间1,2上存在极值，则实数 a的取值范围为 _ 9. 给出下列命题： 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m垂直； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，真命题是_( 填序号 ) 10. 已知函数2cos0,0 2 fxx的图象过点0,2，且在区间0, 2 上单调递减， 则的最大
3、值为 _ 11. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 2 :24Cxy，点A是直线 20 xy 上的一个动点，直 线,AP AQ分别切圆C于,P Q两点，则线段PQ长的取值范围为_ 12. 已知正实数, x y满足 2 1xy xy，则 xy的最小值为 _ 13. 如图，在梯形ABCD中，/AB CD且22DCABBC，E为BC的中点，AC与DE交于点O若 125CB CDOA OD ，则BCD的余弦值为 _ 14. 已知周期为6 的 函数fx满足44fxfx， 当 1,4x 时， ln x fx x ， 则当 3 23 a e 时（ e为自然对数的底数） ，关于x的不等式 2 0fxaf
4、x在区间1,15上的整数解的个数为_ 二、解答题 15. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形， M 为PC的中点 （1）求证：/PA平面BDM； （2）若PAPC，求证：平面 PBD 平面ABCD 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点 3,Pt （1）若4t，求sin 4 的值； （2）若3t且0,2，求sincosfxxx的单调增区间 17. 如图，某大型厂区有三个值班室 ,A B C，值班室 A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班 室B的正东方向 4千米处 （1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时2P
5、C，求PB的距离； （2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室 A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时 出发，甲的速度为5千米 / 小时，乙的速度为3千米 /小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的 最大通话距离为3千米（含3千米） ，试问有多长时间两人不能通话？ 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为 22 2 1 02 4 xy b b ，且直线2yx与以原点为圆 心，椭圆 C短轴长为直径的圆相切 （1）求b的值； （2）若椭圆 C左右顶点分别为 ,M N，过点2,2P作直线l与椭圆交于,A B两点，且,A B位于第一象 限， A在线段BP上 若 AOMV
6、和BON的面积分别为 12 ,S S，问是否存在这样的直线 l使得12 1SS？请说明理由； 直线OP与直线NA交于点C，连结 ,MB MC，记直线,MB MC 的斜率分别为 12 ,k k ， 求证：12 k k 为定值 19. 已知数列 * n anN的前n项和为 n S， 2 nn n Sa（为常数）对于任意的 * nN恒成立 （1）若 1 1a，求的值； （2）证明：数列 n a 是等差数列； （3）若 2 2a ，关于 m的不等式21 m Smm有且仅有两个不同的整数解，求的取值范围 20. 已知函数 ln 1 x fx ax （a R，且 a为常数） （1）若函数yfx的图象在xe
7、处的切线的斜率为2 1 1ee （e为自然对数的底数） ，求a的值； （2）若函数yfx在区间1,2上单调递增，求a取值范围； （3）已知,1,2x y，且3xy求证： 23 ln23 ln 0 11 xxyy xy 21. 曲线 22 1xy在矩阵 0 0 a A b 0,0ab 对应 的 变换下得到曲线 2 2 1 9 x y （1）求矩阵 A； （2）求矩阵 A的特征向量 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程： 1 2 2 3 1 2 xt yt （t为参数），以原点为极点，x轴非 负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：2cos0 （1）将直线
8、l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C上的点到直线l的距离的最小值 23. 已知, ,a b c为正实数，满足3abc，求 149 abc 的最小值 24. 五个自然数 1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列 （1）求 2和4不相邻的概率； （2）定义：若两个数的和为 6且相邻，称这两个数为一组“友好数”随机变量 表示上述五个自然数组 成的一个排列中“友好数”的组数，求的概率分布和数学期望E 25. 已知 * nN，数列12 :,., n Ta aa中的每一项均在集合1,2,.,Mn中，且任意两项不相等，又对于 任意的整数,1i jijn，均有 ij iaja例如2n时，数列 T为1,2或2,1 （1）当3n时，试求满足条件的数列T的个数； （2）当 * nN，求所有满足条件的数列T的个数
