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1、二次根式问题易错点分析 秦 振 ( 山东省枣庄市第九中学, 277100) 现就学生在解二次根式问题时经常出现 的错误类型归纳分析如下, 供大家参考. 1. 概念不清 例1 若 a+ b 4b 与3a+ b 是同类二次 根式, 则 a、 b 的值为( ) . (A) a= 0, b= 2( B) a= 1, b= 1 ( C) a= 0, b= 2 或 a= 1, b= 1 ( D) a= 2, b= 0 错解: 由题意, 得 a+ b= 2, 4b= 3a+ b. 解得 a= 1, b= 1. 故选( B) . 分析: 致错原因是未掌握同类二次根式 的概念. 因为 a+ b 4b = 2 a
2、+ bb, 所以, b= 3a+ b, 而不是 4b = 3a + b. 另外, 通过验证知 a= 1, b= 1 也是错误的. 正解: 因为 a+ b 4b= 2 a+ b b, 由题意, 得 a+ b= 2, b= 3a+ b. 解得 a= 0, b= 2. 故选(A) . 2. 逆用a 2= a( a 0) 时未注意条件 例2 化简( a- 1)- 1 a- 1. 错解: ( a- 1)- 1 a- 1 =( a- 1) 2# - 1 a- 1 =( a- 1) 2# -1 a- 1 =1- a. 分析: 错解在逆用a 2= a 时, 未注意它 成立的条件 a0. 由题意知- 1 a-
3、1 0, 即 a- 1 0, 所以, a- 1= -( 1- a) 2 . 正解: ( a- 1)- 1 a- 1 = - ( 1- a)- 1 a- 1 = -( 1- a) 21 1- a = -( 1- a) 2#1 1- a = -1- a. 3. 运算时未注意隐含条件 例 3 已知 a+ b= - 2, ab= 1 2 . 求 a b + b a 的值. 错解: a b + b a = b a + a b = a+ b ab = - 2A 1 2 = - 2 2. 分析: 由条件 a+ b= - 2, ab= 1 2 , 可知 a 0, b b 和 a b 时, 原式= a- b a
4、- b = 1; ( 2) 当 a b) , - 1( a b) . 5. 忽视表达式的意义 例5 k 为何值时, k2- 3k+ 2 8ab 2k2- k- 2 与 2k2- 7k+ 5 8ab 3k2- 5k+ 1是同类根式? 错解: 由题意, 得 k 2- 3k+ 2= 2k2 - 7k+ 5, 2k 2- k- 2= 3k2 - 5k+ 1. 整理得 k 2- 4k+ 3= 0. 解方程, 得 k1= 3, k2= 1. 分析: 当 k= 1 时, 2k 2 - 7k+ 5= 0, k 2- 3k+ 2= 0, 此时两个根式的根指数为 0, 它们 没有意义. 正解: 由错解知, 当 k
5、= 3 时, 它们是同 类根式. 6. 未按/ 顺序0计算 例6 计算( 2+ 1) A 1 3- 1 ( 3- 1) . 错解: ( 2+ 1) A 1 3- 1 ( 3- 1) = ( 2+ 1) A1=2+ 1. 分析: 乘除是同一级运算, 按运算顺序的 规定, 应从左到右依次进行运算. 正解: ( 2+ 1) A 1 3- 1 ( 3- 1) = ( 2+ 1) ( 3- 1) ( 3- 1) = 4 2- 2 6- 2 3+ 4. 7. 运算过程不当 例 7 计算: m- n m+n + n- p n+p + p- m p +m . 错解: m- n m+n + n- p n+p +
6、 p- m p +m = ( m- n) (m-n) (m+n) (m-n) + ( n- p ) (n-p) (n+p ) (n-p) + ( p- m) (p-m) (p +m) (p -m) = (m-n)+ (n-p)+ ( p -m) = 0. 分析: 上面解法的结果是正确的, 但是, 运算过程存在问题. 因为 m= n 或n= p 或 p= m 时,m -n = 0 或n -p = 0 或 p -m= 0. 根据分式的性质, 这样解题是 不允许的. 正解: m- n m+n + n- p n+p + p- m p +m = (m+n) (m-n) m+n + (n+p ) (n-p) n+p + (p +m) (p -m) p+m = (m-n)+ (n-p)+ ( p -m) = 0. 292009年第 1 期
