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1、2012年北京市中考数学二模分类汇编几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CPEF于点P. 求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（
2、1）取AC的中点G，连接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等边三角形. NG = NC，DG = CM. 2分1 + 2 = 180，NGD + 2 = 240.2 + 3 = 240，NGD =3.NGDNCM . 3分ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC = 60.DMN是等边三角形.4分（2）连接QN、PM.QN =CE= PM. 5分RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.QND= PMD. 6分QNDPMD. DQ= DP. 7分2.（丰台24）在ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得
3、ABP=ACP过点P作PEAC于点E，PFAB于点F （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由 图1 图224解：（1）DE=DF1分 （2）DE=DF不发生改变2分理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN D为BC的中点，3分 4分 同理四边形MDNP为平行四边形5分 6分 EMDDNF DE=DF7分3.(海淀25.)在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.（
4、1）如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; （3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.ACEDNMBFECBFNMECBFA(M)DNDA 图1 图2 图325. 解：（1）BN与NE的位置关系是BNNE；=. 证明：如图，过点E作EGAF于G, 则EGN=90 矩形ABCD中, AB=BC， 矩形ABCD为正方形. A
5、B =AD =CD, A=ADC =DCB =90 EG/CD, EGN =A, CDF =901分 E为CF的中点，EG/CD, GF=DG = N为MD(AD)的中点， AN=ND= GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. 2分 NGEBAN 1=2. 2+3=90， 1+3=90 BNE =90. BNNE 3分 CDF =90, CD=DF, 可得 F =FCD =45， .于是 4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EHCE，交CD于点H 四边形ABCD是矩形， ABCG MBN=DGN，BMN=G
6、DN. N为MD的中点， MN=DN BMNGDN MB=DG，BN=GN. BN=NE， BN=NE=GN. BEG=90 5分 EHCE， CEH =90 BEG=CEH BEC=GEH由（1）得DCF =45 CHE=HCE =45 EC=EH, EHG =135ECB =DCB +HCE =135， ECB =EHG ECBEHG EB=EG，CB=HG BN=NG， BNNE. 6分 BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-HD =CH=CE，=. 7分（3）BNNE；不一定等于. 8分 密云25已知菱形ABCD的边长为1，等边AEF两边分别交DC、CB于点E、F （1）特
7、殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边AEF的外心为P 猜想验证：如图2，猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值25（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE、OF四边形ABCD是菱形，且在RtAOD中，有又 E、F分别是边DC、CB的中点， 点O即为等边AEF的外心 - 3分 （2）猜想：AEF的外心P落
8、在对角线DB所在的直线上证明：如图2：分别连结PE、PA，作于Q，于H 则， 在四边形QDHP中，又 点P是等边AEF的外心， PQEPHA（AAS）PQ=PH点P在的角平分线上菱形ABCD的对角线DB平分， 点P落在对角线DB所在直线上- 6分 - 8分旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在ABC中，AB=AC，当ABD=ACD=60时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图2：在ABC中，AB=AC，当ABD=ACD=45时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在ABC中，AB=AC，当ABD=ACD=（2070）时，直接写出AB与B
9、D+CD数量关系(用含的式子表示)。24. （1）AB=BD+CD1分（2）猜想： 2分 证明：如图，过A点作AEAC交CD延长线于E点，作AFAB交BD延长线于F点，连接EF。3分容易证出：ABCAEF4分 ABC=AEF,BC=EF容易证出：DBCDEF5分 CD=DF 在等腰RtABF中，结论可以得出。(3)（或变形）7分通州23（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：（2）如图2，四边形是的内接正方形，点为弧BC上一动点，求证：（3）如图3，六边形是的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式（不需要证明）图3图2图123
10、.在AP上截取PM=BP,连结BM .(1分)是的内接正三角形，,AB=BCMPM=BP,是正三角形 .(2分)AM=PCAP = PB+PC .( 3分)N(2)过点B做,交PA于点N.(4分)四边形是的内接正方形，AB=BC,PB=BN根据勾股定理得：.(5分).(6分)H(3)结论：.(7分)平谷24如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；ABCDEFG图2ABCDEFG图1图3（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线 （如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H 求证：AGCE； 如果AD=4，DG=，求CE的长 24证明：（1）成立 四边形、四边形是正方形， 1分. 90. .2分 .3分 （2）由（1）可知， 12 . 34，4290， 3190 .5分 过作于M . BD是正方形的对角线， . DGM45. DG=， .6分在RtAMG中 ，由勾股定理，得 CE=AG=7分3.（东城24） 已知：等边中，点O是边AC,BC的垂直平分线的交点，M,N分别在直线AC, BC上，且
