两平面镜的夹角与成像个数关系(台湾一篇通俗易懂的好论文).pdf

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1、 - 2 - 物體在任意夾角的兩平面鏡之間 會成幾個像？ 邱博文 壹、前言壹、前言 高中物理幾何光學的一個典型考題： (大學入 學考試中心 92年預試試題卷一)圖 1 中甲乙兩面巨型 鏡子，以夾角 60方式擺置，一觀察者站立於 A 點， 而 OA 直線與乙鏡的夾角為 45。試問觀察者可自鏡 中看到幾個自己的像? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 在高中階段，計算成像數是考試的基本題。但 是此題的角度 60，算是個特別角，因為 60 可以整 除 360。如果遇到不能整除 360 的角度呢？我們要 逐步來解決這個問題。 貳、計算成像數的基本公式貳、計算成像數的基本公式(兩平面鏡夾角可整除兩平

2、面鏡夾角可整除 360時時) 如何計算成像數呢？可以利用畫圖或討論的方式，土法煉鋼窮舉出所有的成像。但 是遇到 30、15、等成像數很多的小角度就會很辛苦。所以一般高中物理老師會介紹 下列的計算公式： 以上面大考中心的試題來說，兩平面鏡夾角為 60，成像數為 360 1 60 =5。 這個公式的意義其實不難解釋，以 90為例：360/90=4 代表一個圓周 360， 每 90分割出一個空間，總共可以分割出 4 個 90的空間。如圖 2.1 及圖 2.2。最後的減 1：先算 n= 360o 2：再修正 若 n 為奇數且物體不在分角線上，則成像數 N=n 若 n 為奇數且物體在分角線上，則成像數

3、N=n1 若 n 為偶數，則成像數 N=n1 圖 1 物體在任意夾角的平面鏡之間會成幾個像？ - 3 - 一，是減去第一象限中的原物體(自己是物 ，不是像)。但是如果 360o 是奇數，且 物體不在角平分線上，會額外多一個像，各位可以實際做圖驗證。在高中物理的教學過 程，我會讓學生實際作圖， 體驗這個公式。 成像數的另一個意義是光線在兩平面鏡之間會產生幾次反射？如圖 2.1 ，成 3 個像， 兩個一次反射的像，一個二次反射的像，表示光線最多只能有 2 次反射。因此計算出成 像數，也就可以回答光線在兩平面鏡之間最多會有幾次反射。 參、兩平面鏡夾角不能整除參、兩平面鏡夾角不能整除 360時，目前無

4、公式可循時，目前無公式可循 我們可以實際檢驗，360 的因數代入上述公式都 正確。但是，如果改成兩平面夾角 70、80、13 等等不能整除 360 的角度，到底會成幾個像呢？有 的老師會告訴學生，對 360o 取高斯函數，即改成 n= 360 o 。但是如果讀者細心檢查過這個計算結果後， 就會發現結果並不全然正確。 如圖 3， 是兩平面鏡 M1、M2的夾角， 是物 體與 x 軸平面鏡的夾角。下表 1，摘錄了一部份電腦 模擬(實際成像數)與取高斯函數算法不合之數據。細 心的讀者會發現，兩者會相差 1 或 2 呢？而不會其 他可能性，其原因與圖 11 有關。請讀者先耐心等待。 一次反射 二次反射

5、一次反射 圖 2.1圖 2.2 圖 3 M1 M2 科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九十二月 - 4 - Jearl Walker 的物理(飛行)馬戲團(The Flying Circus of Physics)中也有這個經典 問題： 若在服飾店的穿衣間前有兩面鏡子，你會看到鏡子裡有多少個自己？如果你 在腳旁放件行李，行李的影像數和你一樣嗎？ ，此問題的答案 ，1975 年的第一版書 上說： 目前並無公式可循，成像數跟平面鏡夾角有關，也跟物體的位置有關(原文： 5.15 There is no one equation giving the number of images poss

6、ible of the angle between the mirrors and the angular location of the object with respect to the mirrors.)。2007 年的第二 版中，亦無提及找到成像數的公式。 我在 2008 年 2 月參觀香港科學博物館，剛好也有平面鏡特展，展場上寫成像數為 360 1 ，無任何限制，也無奇偶數與物體位置的討論。顯見大多數人對於這個看似簡單 的光學問題，並沒有深入而正確的了解。 我花了幾年的時間，想到一個新的方法可以快速而簡單的計算出任意夾角的成像數。 討論的過程雖然有點繁瑣，但是最後結果算是相當簡單。

7、 肆、平面鏡的成像原理與計算規則肆、平面鏡的成像原理與計算規則 但是我們怎麼知道最後的結果與公式是對的呢？首先，我們定義好成像數的計算規 則，再由電腦窮舉出所有的成像。 在我們正式討論前，要先把成像的遊戲規則講清楚，避免因為像的定義不 同，而對成像數有不同的看法。按照一般高中物理課本對於平面鏡成像的敘述： 只要物或像在平面鏡之前 ，就會成像，所謂之前是包括鏡面的延 長線(面) 之前 ，但之前並不包括該延長線。 上述規則是遞迴定義，一直畫到所成的像落於在鏡後，則停止作圖。 如果是成像正好在平面鏡的延長線上，視為在鏡後(成像在鏡後，停止作圖)。 表 1 ：摘部份合的據 實際成像數 取高斯函數 的算

8、法 實際成像數 取高斯函數 的算法 7.0 3.5 52 50 11.0 0.5 33 31 16.0 3.5 23 21 16.0 4.0 22 21 48.0 23.5 8 7 48.0 24.0 8 6 物體在任意夾角的平面鏡之間會成幾個像？ - 5 - 但是此規則要變成實際的演算法，還需要先清楚地定義一些細節。各位等一下可以 參考兩個實例(圖 4 及圖 5)的討論。電腦程式的演算法如下： 我用 Mathematica 4.0 版撰寫程式(當然讀者也可以利用不同的程式語言撰寫程式)， 利用上述演算法計算成像數，詳細程式列在附錄一。下文中，即以此程式模擬的結果， 做為實際的成像數。 回頭以

9、 360 的因數代入原公式檢驗，模擬結果也與公式一致。等於用窮舉證法間接證 明了原來的公式用於 360 的因數無誤。 為了先讓大家更了解上述的流程，這當然也間接影響到任意角度的討論，所以我先 舉一個實際例子讓大家了解： 假設兩平面鏡夾角 ，物體放在 度處(參考圖 4)， 禁區 【禁區是指同時位於兩 鏡的後面】在 180180(等於 180 或等於 180 都算在禁區) Step1 先對 M1(0)成像，再對 M2()成像，直到落入禁區，即成像在兩鏡之後時， 停止作圖。 其順序為：2(2) 4(4). 先令 angle= 第 1 步：angle 乘以(1)檢查範圍若落於兩鏡之後，則跳到 Step

10、 2 第 2 步：angle 乘以(1)再加 2檢查範圍若落於兩鏡之後，則跳到 Step 2 遞迴定義回第 Step 1 Step 2 記錄最後成像的角度。 Step 3 先對 M2()成像，再對 M1(0)成像 2(2) 4(4 ) 先令 angle= 第 1 步：angle 乘以(1) 再加 2檢查範圍若落於兩鏡之後，則跳到 Step 4 第 2 步：angle 乘以(1)檢查範圍若落於兩鏡之後，則跳到 Step 4 遞迴定義回第 Step 3 Step 4 記錄最後成像的角度。 Step 5 如果 Step 2 與 Step 4 的角度相同，則表示兩像重疊，即我們重複計算，故最 後的成像

11、數減一。 科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九十二月 - 6 - 圖 4：平面鏡夾角 60 成像圖，箭號代表成像順序 60 120 240 300 0 20：Step1 的 1st 像 140：Step1 的 3rd 像 140：Step1 的 2nd 像 100：Step3 的 1st 像 100：Step3 的 2nd 像 140：Step3 的 3rd 像 範例(一)： 夾 角 =60，物體 在 =20處(以 下度的符 號多半省 略 )，禁區 在 180180+60=240 Step 1 第 1 個像 angle=20 20+360=340, 340 未在 180240 之間 第

12、 2 個像 angle=20+260=140 未在 180240 之間 第 3 個像 angle=140 140+360=220,在 180240 之間，故成像停止 Step 2 記錄最後一個角度220 Step 3 第 1 個像 angle=20+260=100 未在 180240 之間 第 2 個像 angle=100 100+360=260 未在 180240 之間 第 3 個像 angle=100+260=220 在 180240 之間，故成像停止 Step 4 記錄最後一個角度220。 Step 5 Step2 與 Step4 的角度相同，表示成像重複，則最後成像數=61=5 物體在

13、任意夾角的平面鏡之間會成幾個像？ - 7 - 但是如果夾角 不整除 360 呢？我再舉一個不整除的例子，來看一般性的結果。 從上述討論我們就會發現，為何目前還沒有人可以利用公式計算出任意夾角的成像 數呢？關鍵在於成像位置類似一個振盪數列，在正負之間擺盪，而且還要檢驗正負角度 是不是同一個角度，避免多算一個，不是取高斯函數的方式就能簡單解決。 伍、觀念頓悟-轉換成兩平行平面鏡之間的成像伍、觀念頓悟-轉換成兩平行平面鏡之間的成像 因為筆者擔任高中物理的教學工作，每年都會重新複習這個問題。有一次，突 圖 5：平面鏡夾角 70 成像圖 70 140 210 280 0 範例(二)：夾角 =70 度，物

14、體在 =20 度處，禁區在 180180+70=250 Step 1 第 1 個像 angle=20 20+360=340, 340 未在 180240 之間 第 2 個像 angle=20+260=140 未在 180240 之間 第 3 個像 angle=140 140+360=220,在 180240 之間，故成像停止 Step 2 記錄最後一個角度220 Step 3 第 1 個像 angle=20+270=120 未在 180250 之間 第 2 個像 angle=120 120+360 =240 在 180250 之間，故成像停止 Step 4 記錄最後一個角度240 Step 5

15、 Step2 與 Step4 的角度不同，表示成像未重複，則最後成像數=505 科學教育月刊 第 335 期 中華民國九十九十二月 - 8 - 然頓悟出這個問題與兩平行平面鏡之間成無窮多個像(如下圖 6.1 及 6.2)的相似性。 也類似高中物理課本中提到德布羅依(Louis de Broglie )利用物質波解釋波耳氫原子 模型穩定態。如下圖，把直線駐波，頭尾對接繞成圓形。 圖 7：直線駐波變形成圓形駐波 我嘗試的解題方式是等於把德布羅依的步驟顛倒過來，把夾角 的兩平面鏡的成像 展開， 轉換成兩平行平面鏡的成像，如圖 8。 圖 6.1：物體放於平平面鏡間 圖 6.2：物體在平平面鏡之間成無窮多像 物體在任意夾角的平面鏡之間會成幾個像？ - 9 - 但是物體在兩平