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1、1.2.1 任意角的三角函数,东升西落照苍穹， 影短影长角不同。 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣。,新 课 引 入,日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定规律周 而复始”的现象，我们把它们称为周期现象，用怎样的数学模 型来刻画周期现象呢？,周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是： 圆周上一点的旋转运动.请看下面实例.,新 课 引 入,问 题 探 索,问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？,.,10m,20m,300,P1,M,问 题 探 索,问题2：设转动度后小明
2、离地面的高度为h, 为00900,试着写出h和的关系式。,P1,问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗 ？,M,P2,在初中阶段,我们对在直角三角形中锐角的三角函数定义如下：,c,b,a,正弦函数：,余弦函数,正切函数：,复习回顾,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？,我们先在平面上建立一个直角坐标系xoy,将锐角的顶点放在坐标原点,始边放在x轴的非负半轴上,设OP为它的终边,如右图：,知识建构,用坐标形式表示锐角三角函数:,y,答案,P（x,y),O,x,的终边,M,设点P(x,y)是锐角终边上的任意一点， 记OP=r（r0）则：,【探究】比值 是否因为P
3、 (x, y)点在终边上的位置发生变化而变化？,结论:三个比值都不会随点P在终边上的位置变化而改变.,的终边,r=1,y,x,O,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:,y 叫做的正弦,x 叫做的余弦,叫做的正切,推广任意角三角函数的定义,任意角三角函数的定义:,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 三角函数,定义域：R,定义域：R,定义域：,如何求角的三角函数值?,关键： 求出角的终边与单位圆的交点。,思考:,例1：求 的正弦,余弦和正切值.,A,B,O,练习：,摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最 高点时许下的愿望一般能实现，你
4、能求出 小明第一次到达最高点许愿时转过的角 的正弦、余弦、正切值吗?,问 题 回顾,问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00900,试着写出h和的关系式。,.,P1,问题3：当推广到任意角后，你觉得上述关系式还能适用吗 ？,P,M,20m,10m,角转到第二象限时：,P,M,20m,10m,角转到第三象限时：,当角转到第四象限的时候，同学们可以证明，该式也一定成立。,现代三角学的确认,直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为,是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，,即三角学是以几何的面貌表现出来的，,这也可以说,是三角学的古典面貌,三角学的现代特征，,
5、是把三角量看作为函数，,即看作为是一种与角相,对应的函数值这方面的工作是由欧拉作出的,1748,年，欧拉发表著名的无穷小分析引,论一书，指出：,“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”,具体地说，任意一个角的三角,函数，,都可以认为是以这个角的顶点为圆心，,以某定长为半径作圆，,由角的一边与圆周的交,点,P,向另一边作垂线,PM,后，,所得的线段,OP,、,OM,、,MP,（即函数线）,相互之间所取的比值,若,令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化,欧拉的这个定义是极其科学的，,它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中,解脱了出来，,使它有可能去反映运动和变化的过程，,从而使三角学成为一门具有现代特征的,分析性学科正如欧拉所说，引进三角函数以后，,原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离,几何图形去进行自由的运算一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得,出,这样，,就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，,有了坚实的理论依,据，而且大大地丰富了严格地说，这时才是三角学的真正确立,谈一下你的收获!,任意角三角函 数的定义,知识结构,三角函数的概念,三角函数定义的运用,课堂小结,定义域,古希腊,古印度,初中,高中,莱昂哈德欧拉 （17071783）,数学的概念是有生命的，发展的.,
