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1、目录第一部分：中值定理结论总结.11、介值定理.12、零点定理.23、罗尔定理.24、拉格朗日中值定理.25、柯西中值定理.26、积分中值定理.3第二部分：定理运用.3第三部分：构造函数基本方法.9一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系.10二、二阶导数与原函数之间关系.11第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型).14题型一：中值定理中关于的问题题型二：证明f(n)()=0题型三：证明f(n)()=C0(0)题型四：结论中含一个中值，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值,的问题题型六：含a,b及中值的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问
2、题第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点使得f()=C(ab).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的取开区间。介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b上有最大值M，最小值（m,若mCM,则必存在a,b,使得f()=C。闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭
3、区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、零点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)0,那么在开区间内至少存在一点使得f()=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得f(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间a,
4、b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得f(b)-f(a)=f().(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(axb),g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f(x)g(x)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。6、积分中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，则至少存在一点xa,b使得baf(x)dx=f(x)(b-a)Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是
5、在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在a,b上连续，则至少存在一点x(a,b)使得baf(x)dx=f(x)(b-a)证明：设F(x)=xaf(x)dx，xa,b因为f(x)在闭区间上连续，则F(x)在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为f(x)）。则对F(x)由拉格朗日中值定理有：$x(a,b)使得F(x)=F(b)-F(a)b-a=baf(x)dxb-a而F(x)=f(x)所以$x(a,b)使得baf(x)dx=f(x)(b-a)。在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区
6、间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。第二部分：定理运用1、设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且2f(0)=20f(x)dx=f(2)+f(3).证明：(1)$h(0,2)使f(h)=f(0)(2)$x(0,3)使f(x)=0证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。（1）、令x0(0f(t)dt=F(x),x0,2则由题意可知F(x)在
7、0,2上连续，,2)内可导.则对F(x)由拉格朗日中值定理有：$h(0,2)使F(h)=F(2)-F(0)2f(h)=20f(t)dt2=f(0),h(0,2)从而，mM，那么由介值定理就有：$c2,3,使f(c)=f(0)(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b
8、)=f(c)，那么问题就解决了。第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，2f(0)=f(2)+f(3)，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：Qf(x)在0,3上连续，则在2,3上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;则mf(2)M,mf(3)M.f(2)+f(3)2f(2)+f(3)2f(0)=f(h)=f(c),h(0,2),c2,3则有罗尔定理可知：$x1(0,h),f(x1)=0，$x2(h,c),f(x2)=0$x(x1,x2)(0,3),f(x)=0Ps：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。2、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:(1)、$x(0,1)使得f(x)=1-x(2)、$两个不同点h、x(0,1),使得f(x)f(h)=
