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1、.,圆的常用辅助线及作法,.,尝试练习一,尝试练习二,数学歌诀,作法及应用,弦心距,直径圆周角,切线径,两圆相切公切线,中点圆心线,两圆相交公共弦,尝试练习,圆的常用辅助线及作法,常用思想,.,圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。,一、添设圆的辅助线的常用思想 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。,.,弦与弦心距，亲密紧相连。 中点与圆心，连线要领先。 两个相交圆，不离公共弦
2、。 两个相切圆，常作公切线。 圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。,圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”,.,二、常用辅助线作法的应用,在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。,2.1、弦心距 -有弦，可作弦心距。,.,例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC =BD。,由垂径 定理得： AE = EB， CE = DE,证明：过O作OE AB， 垂足为E。,E,即：AC = BD, AE - CE = BE - DE,.,在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对
3、的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。,2.2、直径圆周角 -有直径，可作直径上的圆周角.,.,例2、已知：MN 切O于A点，PC是直径，PB MN于B点， 求证：,分析：,.,证明：连结AC、AP, PC是O的直径 CAP = 90 , PB MN PBA = 90 , CAP = PBA, MN 是0的切线 BAP = ACP,.,在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。,2.3、切线径 -有切点，可作过切点的半径。,.,例3、如图，AB、AC与O相切有与B、C点，A = 50，点P优弧BC的一个动点，求
4、BPC的度数。,BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130,解：连结 OB、 OC ，, AB、AC是O的切线, ABOB， ACOC，,在四边形ABOC中，A = 50, BPC = = 65,ABO = ACO = 90,.,在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。,2.4、两圆相交公共弦 -两圆相交，可作公共弦。,.,例4、如图，已知：O 和O 相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交O 和O 于C 、D；过B点的直线EF分别交O 和O 于E
5、、F 。求证：CEDF 。,CEDF,1,2,2,2,1,1,2,1,证明：连结AB,四边形ACEB是O 的内接四边形, DAB = E,四边形ABFD是O 的内接四边形, DAB +F = 180, E +F = 180,.,在解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。,2.5、两圆相切公切线 -两圆相切，可作公切线.,.,例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、CD分别交O 和O 于A、C 和B 、D。求证：ACBD 。,M,N,证明：过T点作两圆的内公切线MN,1,2,1
6、,2,在O 中，A= CTN,在O 中， B= DTM,又 CTN = DTM,A= B,ACBD,.,在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。,2.6、中点圆心线 -有中点和圆心，可连结中点与圆心。,.,例6、如图，已知AB、CD是O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，并且 AMN = CNM 。求证：AB = CD 。,即：AB = CD,证明：连结OM、 ON,M、N分别是AB、CD的中点,OMAB，ONCD,AMO = CNO = 90 ,又 AMN = CNM, OMN = ONM, OM = ON,.,
7、三、尝试练习一,1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。,PO平分BPA， OM=ON AB=CD。,（1）、证明：过O作OMAB，ONCD，垂足为M、N。,M,N,.,三、尝试练习一,1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。,（2）、AB=CD，OMAB，ONCD AM=MB=CN=ND 又OM=ON，RtPMORtPNO PM=PN PM+MB=PN+ND 即：PB=PD,.,2、如图
8、，以RtABC的直角边AC为直径作O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证：,即：AD=AC,AC是O的直径， APC =90 ACB=90， APCACB,又AD是大的切线,证明：连结CP，,.,3、如图，在O中，半径OAOB垂足为O，P是OB上任意一点，AP交O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP = CQ。,QC是O的切线， OQC=90 OA=OQ，OAQ=OQA 又OAOB，APO=90-OAP CQP=90-OQA APO=CQP CQP=CPQ， CP = CQ。,证明：连结OQ,.,四、尝试练习二,1、如图，两圆相交于A、B两点
9、。过一个圆上的点P作射线PA和PB，分别交于另外一个圆于点C和点D，再作切线PT。求证：PTCD。,PT是小的切线，TPA=ABP ABDC是大的内接四边形， ABP=C TPA=C 即：PTCD。,证明：连结AB,.,2、如图，已知：O1和O2外切于点A，BC是O1和O2 的公切线，B、C为切点。求证：ABAC。,由切线长定理得： BP=PA，PA=PC PA= BP = PC =,证明：过点A作两圆的公切线交BC于点P ，,ABAC,.,3、已知、AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，E是AC的中点。求证：ED是O的切线。,OE是ABC的的中位线 OEBC AOE=B，EOD=ODB OB=OD，B =ODB AOE = EOD 又AC是O的切线，OAE=90 OD=OA AOE = EOD OE=OE EAO EDO EDO=EAO=90 即：ED是O的切线。,证明：连结OD，OE,.,谢谢！,
