北京四中高中数学 对数及对数运算基础知识讲解 新人教A版必修1.doc

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1、对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念,能够进行指数式与对数式的互化;2.了解常用对数与自然对数的意义;3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算;4了解换底公式及其推论,能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数,N叫做真数.要点诠释:对数式logaN=b中各字母的取值范围是:a0且a1, N0, bR.2.对数具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即;(2)1的对数为0,即;(3)底的对数等于1,

2、即.3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e(e是一个无理数,)为底的对数叫做自然对数, .4对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和;推广:(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数;(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数;要点诠释:(1)利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如

3、:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的:loga(MN)=logaMlogaN,loga(MN)=logaMlogaN,loga.要点三、对数公式1对数恒等式:2换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a0, a1, M0的前提下有:(1) 令 logaM=b, 则有ab=M, (ab)n=Mn,即, 即,即:.(2) ,令logaM=b, 则有ab=M, 则有 即

4、, 即,即当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中的取值范围:(1);(2);(3)【答案】(1);(2);(3)且【解析】(1)由题意,即为所求(2)由题意即(3)由题意解得且【总结升华】在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于1举一反三:【变式1】函数的定义域为 【答案】类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【解析】运用对数的定义进行互化.(1)

5、;(2);(3);(4);(5);(6).【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三:【变式1】求下列各式中x的值:(1) (2) (3)lg1000=x (4)【答案】(1);(2);(3)3;(4)-4【解析】将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.(1);(2);(3)10x=1000=103,于是x=3;(4)由.高清课程:对数及对数运算 例1【变式2】计算:并比较【解析】 类型三、利用对数恒等式化简求值例3求值: 【答案】35 【解析】.【总结升华】对数恒等式中要注意格式:它们是同底的;指数中含有对数形式

6、;其值为真数.举一反三:【变式1】求的值(a,b,cR+,且不等于1,N0)【答案】【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.类型四、积、商、幂的对数高清课程:对数及对数运算例3例4. 表示下列各式 【解析】(1);(2);(3);(4)=【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径,因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时,一要注意真数必须大于零;二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三:【变式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 【答案】(1)22;(2

7、)1;(3)2【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.类型五、换底公式的运用例5.已知,求【答案】【解析】解法一:,于是解法二:,于是解法三:,解法四:,又令,则,即【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算的性质(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,

8、将它们统一成一种形式(3)解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用举一反三:【变式1】求值:(1);(2);(3).【答案】(1);(2);(3)【解析】(1) ;(2);(3)法一:法二:.类型六、对数运算法则的应用例6.求值(1) (2) (3)(4)【答案】(1)-10;(2)0;(3)3;(4)13【解析】(1)原式=(2) 原式=(3)原式=(4)原式举一反三:【变式1】计算下列各式的值(1);(2)【答案】(1)3;(2)1【解析】(1)原式=2=2+1=3;(2)原式=+= =【变式2】求值:【答案】2【解析】另解:设 =m (m0). , , , lg2=lgm, 2=m,即.6

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