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1、余杭高级中学2012届高三第二次阶段性检测数学(理科)试卷考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷.选择题部分一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1已知，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设集合，则等于（ ）A B C D3如果对于任意实数，表示不小于的最小整数，例如，那么“”是“”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分
2、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4设数列的前n项和，则的值为（ ）A15B 16 C49 D 64 52002年8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为, 大正方形面积是1, 小正方形面积是, 则的值是（ ） A B C D6已知非零向量a，b满足|a + b| =|ab |=|a|，则a + b与ab的夹角为（ ）A B C D 7设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）A 4 B C 2 D 8已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值
3、为 ( ) A B C D 9定义一种运算，令，且，则函数的最大值是 （ ）AB C 1D 10已知，若函数 不存在零点，则c的取值范围是（ ）A BCD非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11已知向量，若，则= 12若函数，则= .13设的最小值为 14已知数列满足：则 15已知，且，则 16当一个非空数集F满足条件“如果，则，并且当时，”时，我们就称F为一个数域。以下四个关于数域命题：0是任何数域的元素；若数域F中有非零元素，则；集合是一个数域；有理数是一个数域。其中正确命题的序号为 17给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变
4、动.若其中,则的最大值是 三、解答题: 本大题共5小题, 共72分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）在中，角所对的边为，已知。（1）求的值；（2）若的面积为，且，求的值。19（本小题满分14分）设首项为，公差为的等差数列的前项和为，已知。（1）求及；（2）若数列满足，求数列的通项公式。20（本小题满分14分）已知函数满足，当时， ；当时，。（1）求函数的单调区间；（2）若，求函数在时的零点个数。21（本小题满分15分）已知向量。（1）求当时函数的值域；（2）是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之。22（本小题满分15分）设函数，其中为常数。（1）
5、当时，求函数的单调区间；（2）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点；（3）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。 余杭高级中学2012届高三第二次阶段性检测数 学（参考答案及评分标准）三、解答题18解：（1） 6分（2） ，由正弦定理可得： 由（1）可知 8分 ，得到由余弦定理可得 12分由可得或， 所以或 14分19解：（1）因为是首项为，公差为的等差数列 解得 6分（2）由题可知： - 可得 9分由（1）可知 11分所以 13分 符合，所以14分20. 解：（1）由题可知 由可知，即函数是以2为最小正周期的周期函数由图可知，函数的单调递减区间为，递增区间为 6分21解：（1） 5分由
6、 ，所以 8分所以函数的值域为 10分（2），即，所以。 13分因为 ，且 ，所以不存在。 15分22解：（1）当时，函数，此时有惟一极小值点， 3分则当时，所以在上为减函数，当时，所以在上为增函数。 5分（2）由题意得，的定义域为， 6分当时，函数在定义域上单调递增。此时函数无极值点；7分当时，有两个相同的解，但当时，；当时，所以当时，函数在上无极值点； 8分当时，有两个不同解，当时，舍去。而，此时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时有惟一极小值点。 9分当时，此时，当时，单调递增， 当时， 单调递减，当时，单调递增，所以当时，有一个极大值点和一个极小值点 10分综上所述，当且仅当时，有极值点：当时有惟一极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点11分解法二：（）由题意得，的定义域为， 7分如图作出函数的图象， 当时，由可解得 9分由图象可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点11分（3）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，且时，所以在上为减函数。因为当时，所以恒有，12分即恒有。所以当时恒有成立。 13分令函数，则，所以当时，又在处连续，所以时为增函数。 14分因为当时，所以，即，所以，综上可知，当时不等式都成立 15分。8
