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1、高二数学期末复习二：证明与复数人教实验版（B）【本讲教育信息】一、教学内容：期末复习二：证明与复数二、学习目标掌握用反证法来证明问题，理解数学归纳法的解题步骤；理解复数的有关概念；掌握复数的代数形式及运算法则，能进行复数的加、减、乘、除运算。三、考点分析1、（1）数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.（2）用数学归纳法证明命题的步骤为：验证当n取第一个值时命题成立，这是推理的基础；假设当n=k时命题成立.在此假设下，证明当时命题也成立是推理的依据.特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立，注意不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄
2、清由k到k+1时命题的变化2、应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。3、反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。4、复数及分类形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。5、复数相等的充要
3、条件。特别地6、共轭复数及其运算性质与互为共轭复数，且，它的运算性质有：，7、复数的加法和减法。8、复数的乘法和除法（1）复数的乘法按多项式相乘进行，即。（2）复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化。注：做复数除法运算时，有如下技巧：，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化。【典型例题】例1、实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m1）i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+（m1）i中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；（3）当时，即m=1时，z是纯虚数；（4
4、）当时，即m1时，z对应的点Z在第三象限。例2、已知复数z满足|z2|=2，z+R，求z.解：设z=x+yi，x，yR，则z+=z+， z+R， =0，又|z2|=2，（x2）2+y2=4，联立解得，当y=0时， x=4或x=0 （舍去x=0， 因此时z=0），当y0时， ， z=1， 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.例3、用数学归纳法证明：（）能被64整除。证明：当时，能被64整除，假设，能被64整除。当时， 与64均能被64整除 及也能被64整除，所以时，命题成立，由（1）（2）可知当时，命题成立。注：数学归纳法证明整除问题例4、已知，证明：.证明：用数学归纳法证明.（1）当
5、时，左边=，右边，等式成立；（2）假设当时等式成立，即有：.那么当时，左边=右边；所以当时等式也成立.综合（1）（2）知对一切，等式都成立.思维点拨：（1）数学归纳法证明恒等式（2）仔细观察欲证等式的结构特征，在第二步证明当时向目标式靠拢是关键.例5、（1）已知，求证：。解析：假设，那么，即，或解得且或且，均与已知矛盾假设不成立，原命题成立。例6、证明是无理数。证明：假设不是无理数，则是有理数设，其中为互质的正整数，两边平方：则是5的倍数，也是5的倍数，令为正整数，则则所以2是5的倍数，同样也是5的倍数那么这与为互质的正整数相矛盾，所以是无理数。点评：1. 用反证法证明命题“若p则q”时，可能
6、会出现以下三种情况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题。2. 适宜用反证法证明的数学命题（1）结论本身是以否定形式出现的一类命题；（2）关于惟一性、存在性的命题；（3）结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；（4）结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题。3. 使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个
7、p 或qp且q至多有n个至少有n+1个p 且qp或q【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、已知数列的前n项和，且，通过计算猜 想（ ）A、B、C、D、2、已知a1=1，然后猜想（ ）A、nB、n2C、n3D、3、设条件甲：x=0，条件乙：xyi（x，yR）是纯虚数，则（ ）A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件 D、甲是乙的既不充分，又不必要条件4、已知关于x的方程x2（2i1）x3mi0有实根，则实数m应取的值是（ ）A、mB、mC、m=D、m=5、设R+，M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加m2| mM是（ ）
8、A、R+ B、R C、R+R D、R06、若23i是方程x2+mx+n0的一个根，则实数m，n的值为（ ）A、m4，n=3 B、m=4，n13C、m4，n=21 D、m=4，n5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、计算：i29+i30+ i31i32+i250 .8、设mR，z（2i）m23（1i）m2（1i），当m= 时，zR；当m= 时，z为纯虚数9、设数列的前n项和为Sn，已知Sn=2nan（nN+），通过计算数列的前四项，猜想 .10、已知函数记数列的前n项和为Sn，且时，则通过计算的值，猜想的通项公式 .三、解答题（本大题共4题，共50分）11、已知复数z满足|z|5
9、，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z12、证明：113、是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在，请说明理由。14、已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。求证：弦AB、CD不被点P平分。【试题答案】1、B2、B3、B4、C5、B6、B7、i18、2或1；9、 10、n+111、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算设 zxyi（x， yR）， |z|5，x2y225， 又（34i）z=（34i）（xyi）（3x4y）+（4x3y）i是纯虚数， ， 联立三个关系式解得， z=43i或z43i12
10、、解1：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等设zabi，（a， bR），则=.解2： ， =.13、证明：由得，由此猜想m=36下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，显然成立。（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即能被36整除；当n=k+1时，由于是2的倍数，故能被36整除，这就说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为36。14、证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形所以ACB=ADB，CAD=CBD因为四边形ACBD是圆内接四边形，所以ACB+ADB=180，CAD+CBD=180因此ACB=90，CAD=90所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被点P平分用心 爱心 专心
