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1、【创新设计】2014高考数学一轮复习 坐标系训练 理 新人教A版选修4-4备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互
2、化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.归纳知识整合1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标一般地，不作特殊说明
3、时，我们认为0，可取任意实数(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，)(R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(，) 表示；同时，极坐标(，)表示的点也是惟一确定的探究1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：探究2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与
4、点的极坐标不是一一对应法则，如果规定0,02，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了4常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R) (2)和过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)自测牛刀小试1极坐标方程cos 化为直角坐标方程解：由cos 得2cos ，故x2y2x.2.(2013北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中
5、的方程为x1，所以其极坐标方程为cos 1.3在极坐标系中，求点A关于直线lcos 1的对称点的一个极坐标解：在直角坐标系中，A(0,2)，l：x1，点A关于l的对称点为(2,2)，所以2，所以此点极坐标为.4在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，求AB的长解：曲线4cos ，即为圆x2y24x0，过A(3,0)且与极轴垂直的直线为x3，将x3代入x2y24x0，得y21293，解得y.故AB2.5已知圆的极坐标方程为2cos ，求该圆的圆心到直线sin 2cos 1的距离解：直线sin 2cos 1化为2xy10，圆2cos 的圆心(1,0)到直线2
6、xy10的距离是.伸缩变换的应用例1求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程自主解答由得到将代入y21得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.若椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程为1，求满足的伸缩的变换解：设变换为代入1，得1，与y21的系数对比，得2，1，即因此经过变换后，椭圆y21变换为1.求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程1在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换后得到的曲线方程为ylg(x5)，求曲线C的方程解：将代入ylg(x5)得yl
7、g(x5)，即y2lg(x5)为所求曲线C的方程.极坐标与直角坐标的互化例2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程自主解答(1)由2知24所以x2y24；因为22cos2 ，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范
8、围要注意转化的等价性2(2013佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P的极坐标解析：由极坐标与直角坐标的互化公式cos x，sin y可得，cos 1，sin ，解得2，2k(kZ)，故点P的极坐标为(kZ)3求以点A(2,0)为圆心，且过点B的圆的极坐标方程解：由已知圆的半径为AB 2，又圆的圆心坐标为A(2,0)，所以圆的普通方程为(x2)2y24.由得圆的极坐标方程是4cos .极坐标系的综合问题例3从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12.(1)求点P的轨迹方程；(2)
9、设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值自主解答(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程是x2y23x，即2y22，知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标4(2013西安五校联考)在极坐标系(，)(02)中，求曲线2sin 与cos 1的交点的极坐
10、标解：2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(1,1)，又00)的一个交点在极轴上，求a的值解直线方程为xy10，与x轴的交点为，圆的方程为x2y2a2，把交点代入得202a2，又a0，所以a.(1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程(2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况已知两曲线的极坐标方程C1：2(0)，C2：4cos ，求两曲线交点的直角坐标解：C1的极坐标
11、方程化为直角坐标方程为x2y24(y0)，C2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x2)2y24.将两方程联立，解方程组得x1，y.又因为y0，舍去y，所以两曲线交点坐标为(1，)1已知直线的极坐标方程sin，求极点到直线的距离解：sin，sin cos 1，即直角坐标方程为xy1.又极点的直角坐标为(0,0)，极点到直线的距离d.2在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线方程为3x4ya0，又圆与直线相切，所以1，解得a2或a8.3(2012江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程解：将x2y22，xcos 代入x2y22x0得22cos 0，整理得2cos .4已知圆M的极坐标方程为24cos60，求的最大值解：原方程化为2460，即24(cos sin )60.故圆的直角坐标方程为x2y24x4y60.圆心为M(2,2)，半径为.故max|OM|23.5(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1
