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1、信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A卷）得分一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分）1. 两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为 _。2. 给定一个正整数m，两个整数a,b叫做模m同余，如果_，记作；否则，叫做模m不同余，记作_。3. 设m，n是互素的两个正整数，则_。4. 设是整数，a是与m互素的正整数。则使得成立的最小正整数叫做a对模m的指数，记做_。如果a对模m的指数是，则a叫做模m的_。5. 设n是一个奇合数，设整数b与n互素，如果整数n和b满足条件_，则n叫做对于基b的拟素数。6. 设是两个群，f是到的一个映射。如果对任
2、意的，都有_，那么f叫做到的一个同态。7. 加群Z的每个子群H都是_群，并且有或_。8. 我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个_群，对于乘法构成一个_群。得分二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 令 。用广义欧几里德算法求整数，使得 。2. 求同余方程的解数。3. 计算3模19的指数。得分三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1. 求解一次同余方程。2. 解同余方程组得分四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1. 证明：如果是整数，则能够被6整除。2. 是群到的一个同态，其中是的单位元。证明：是的正规子群。3. 证明：如果和是不同的素
3、数，则。得分五、应用题（共11分）RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择 两个大的素数p和q，计算n=pq。选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod)。Bob的公钥是（n，e），对外公布。Bob的私钥是d ，自己私藏。如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。答案 一、填空题（每空2分，共24分）1. 两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为。2. 给定一个正整数m，两个整数a,b叫做模m同余，如果，记作；否则，叫做模m不同余，记作。3. 设m，n是互素的两个正整数，则。4. 设是整数，a是与m互素的正整数。则使得成立的最小正整数叫做a对
4、模m的指数，记做。如果a对模m的指数是，则a叫做模m的 原根 。5. 设n是一个奇合数，设整数b与n互素，如果整数n和b满足条件，则n叫做对于基b的拟素数。6. 设是两个群，f是到的一个映射。如果对任意的，都有，那么f叫做到的一个同态。7. 加群Z的每个子群H都是 循环 群，并且有或。8. 我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个 交换 群，对于乘法构成一个 交换 群。二、计算题(每题8分，共24分)1. 解： 3589=2*1613+363 1613=4*363+161 363=2*161+41 161=3*41+38 41=1*38+3 38=12*3+2 3=1*2+1 2=2*1
5、 (a,b)=1,从而 1=3-1*2 =3-1*(38-12*3) =-38+13*(41-1*38) =13*41-14*(161-3*41) =-14*161+55*(363-2*161) =55*363+(-124)*(1613-4*363) =(-124)*1613+551*(3589-2*1613) =551*3589+(-1226)*1613 所以s=-1226 t=5512. 解：因为（-2/67）=(65/67) =(13/67)(5/67) =(-1)12*66/4(-1)4*66/4(2/13)(2/5) =1*1*(-1)(13*13-1)/8(-1)(5*5-1)/8
6、 =-1*(-1)=1 所以-2是67的平方剩余 所以x2-2(mod67)有2个解。3. 解：因为(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod19) 因为313, 329, 338, 367, 39-1, 2181(mod19) 所以3模19的指数为18；三、解同余方程（每题10分，共20分）1. 解：因为（17，21）=1 | 14 故原同余式有解。 又17x1（mod21，所以 特解x05（mod21）。 同余式17x14（mod21）的一个特解为x014*x0=14*57（mod21） 所有解为：x7（mod21）2. 解：令， ，。 分别求解同余式
7、（i=1,2,3） 得到，。故同余式的解为四、证明题（每题7分，共21分）1. 证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，kZ 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，kZ 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，kZ 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 又因为(a-1)，a，(a+1)是3个连续的整数，所以至少有一个是偶数， 从而 2|a3-a。因此，a3-a能够被6整除。2. 证明：因为(p,q)=1 p,q都为素数 所以(p)=p-1, (q)=q-1 由Euler定理知：p(q)1(modq) q(p)1(modp) 即pq-11(modq) qp-11(modp) 又 qp-10(modq) pq-10(modp) 所以pq-1+qp-11(modq) qp-1+pq-11(modp) 又p,q=pq 所以pq-1+qp-11(modpq)3. 证明：对任意，有，从而，。因此，是群的子群。 对任意,我们有。 这说明。从而，是群的正规子群。五 (11分)解： p=47，q=23，n=pq=1081.所以， 。要求Bob的私钥d，即解同余式257d=1(mod). 利用欧几里得算法解得该同余式的解为949。故Bob的私钥是d=949.8 / 8
