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1、第6讲 空间向量及其运算A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是 () A0 B1 C2 D3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只
2、有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x ()A4 B2 C4 D2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)(2b)2(1x)2，x2.答案D3若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a
3、、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为 ()A0 B. C. D.解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_2；0；0；解析0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面答案6.在空间四边形ABCD中，_.解析如图，设a，b，c，a(cb)b(ac)c(ba)0.答案0三、解答题(共25分)7(12分
4、)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断、三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内8(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1、G、C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离(1)证明，可以证明：()，即A1、G、C三点共线(2)证明设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，即CA
5、1BC1，同理可证：CA1BD，因此A1C平面BC1D.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即C到平面BC1D的距离为a.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1(2013海淀月考)以下四个命题中正确的是 ()A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则abc，则a、b、c为
6、共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案B2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc B.abcCabc D.abc解析()c(ba)abc.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3已知在一个60的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，则CD的长为_解析设a，b，c，由已知条件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90，b，c90，a，c60|2|2|cba|2a2b2c22ab2ac2bc68，则|2
7、.答案2 cm4如图，空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值等于_解析设a，b，c.OA与BC所成的角为，a(cb)acaba(a)a(a)a2aa2a2416.cos .答案三、解答题(共25分)5(12分)如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线证明设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三点共线6(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)(ca)(bc) (bcabc2ac)；(3)abacb abc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.6
