《（山东专用）2013版高中数学 （主干知识 典例精析）37正弦定理和余弦定理课件 理 新人教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（山东专用）2013版高中数学 （主干知识 典例精析）37正弦定理和余弦定理课件 理 新人教（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 正弦定理和余弦定理,三年16考 高考指数: 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.,1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.,1.正弦定理,已知两角和任一边，求其他两边和另一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.,【即时应用】 (1)思考：在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？ 提示:充要条件. 因为sinAsinB abAB. (2)在ABC中，B30，C120，则abc_. 【
2、解析】A1803012030， 由正弦定理得：abcsinAsinBsinC11 . 答案：11,2.余弦定理,已知三边,求各角. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.,【即时应用】 (1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_. (2)在ABC中，已知 ，则角A为_.,【解析】 (1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为 . (2)由已知得 bc， cosA ， 又0A，A . 答案：(1) (2),3.三角形中常用的面积公式 (1)S= ah(h表示边a上的高); (2)S= bcsinA= = ； (3)S= r(a+b+c)
3、(r为三角形的内切圆半径).,【即时应用】 (1)在ABC中，A60，AB1，AC2，则 的值为_. (2)在ABC中，AC ，AB ，cosA ，则 _.,【解析】(1) ABACsinAsin60 . (2)在ABC中，cosA ， sinA ， ABACsinA . 答案：(1) (2),利用正、余弦定理解三角形 【方法点睛】 解三角形中的常用公式和结论 (1)A+B+C=；,(2)0A，B，C， sin =sin =cos ， cos =cos =sin ， sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC， tan(A+B)=-tanC. (3)三角形中等边对等角,大边对大角
4、,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,【例1】根据下列条件解三角形 (1)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c ，b4，且BC边上的高h ，则角C=_. (2)在ABC中，已知ABC，且A=2C,b=4,a+c=8，则a=_, c=_. (3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程 3x20的根，则第三边长是_.,【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.,【规范解答】(1)由于ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D点，si
5、nC ，则C60.,(2)由正弦定理 = , 又A=2C,所以 , 即 , cosC= . 由已知a+c=8=2b及余弦定理，得 cosC= = ., = ，整理得(2a-3c)(a-c)=0, ac,2a=3c. a+c=8,a= ,c= . (3)解方程可得该夹角的余弦值为 ，由余弦定理得： 21，第三边长是 . 答案：(1)60 (2) (3),【互动探究】本例中的(1)条件不变，若求a,则a=_. 【解析】由余弦定理可知 2abcosC， 则 2a4 ， 即 4a50. 所以a5或a1(舍去) 因此a边的长为5. 答案：5,【反思感悟】 1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,
6、有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.,absinA,a=bsinA,bsinAcb，所以内角A最大， 由余弦定理得，cosA= =- ,A=120， 而cosC= = = , 所以sinC= .,利用正、余弦定理判断三角形形状 【方法点睛】 1.三角形形状的判断思路 判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断 (1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； (2)角与角的关
7、系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.,2.判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对三角函数值的影响.,【例2】在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边, 如果( )sin(A-B)=( )sin(A+B),试判断该三角形的形 状. 【解题指南】解答本题运用正弦定理和余弦定理,化边为角或化 角为边来解
8、.,【规范解答】方法一：由已知( )sin(A-B)=( ) sin(A+B), 得 sin(A-B)-sin(A+B)= -sin(A+B)-sin(A-B), cosAsinB= cosBsinA. 由正弦定理得 AcosAsinB= BsinAcosB 0A,0B,sin2A=sin2B, 2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B= . ABC是等腰三角形或直角三角形.,方法二:同方法一可得 cosAsinB= cosBsinA, 由正、余弦定理得 = , 即 =0. a=b或 , ABC为等腰三角形或直角三角形.,【反思感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法 (1)通过正弦定理实施边
9、角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系； (4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.,【变式训练】在ABC中： (1)已知a-b=ccosBccosA，判断ABC的形状. (2)若b=asinC,c=acosB,判断ABC的形状.,【解析】(1)由已知结合余弦定理可得a-b= c ， 整理得(a-b)( )=0,a=b或 , ABC为等腰三角形或直角三角形.,(2)由b=asinC可知 =sinC= ，由c=acosB可知c=a ，整理得 ，即三角形一定是直角三 角形，A=90,sinC=sinB，B=C， ABC为等腰直角三角形.,与
10、三角形面积有关的问题 【方法点睛】 三角形的面积公式 (1)已知三边： S= ,其中p= .,(2)已知两角及两角的共同边： S= = = (3)已知三边和外接圆半径R，则S=,【例3】(1)已知ABC中，a8，b7，B60，则c=_， =_. (2)(2011山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 . 求 的值； 若cosB= ，b=2,求ABC的面积S.,【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边长c，再求面积. (2)可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦
11、定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.应用余弦定理及第一问结论求得a和c的值，然后利用面积公式求解.,【规范解答】 (1)方法一:由正弦定理得 , sinA= , cosA= = ; sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 或 . 由 , 得 =5, =3. = a sinB= 或 = a sinB= .,方法二:由余弦定理得 -2cacosB, -28ccos60, 整理得: -8c+15=0, 解得: =3, =5, = a sinB= , 或 = a sinB= . 答案：3或5 或,(2)方法一:在ABC中，由 = 及正弦定理可得 ， 即cosAsinB-2c
12、osCsinB=2sinCcosB-sinAcosB， 则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB， sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sinC=2sinA， 即 =2.,方法二：在ABC中，由 可得 bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB 由余弦定理可得 整理可得c=2a，由正弦定理可得 = =2. 由c=2a及cosB= ,b=2可得 4= -2accosB= ,则a=1，c=2， S= acsinB= 12 = ， 即S= .,【反思感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、
13、面积公式. 2.明确所需要求的边、角:(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.,【变式训练】(2012济南模拟)已知f(x)=sin(2x- )+ -1. (1)求函数f(x)的单调增区间; (2)在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且a=1,b+c=2,f(A)= ,求ABC的面积.,【解析】(1)因为f(x)=sin(2x- )+2 -1= sin2x- cos2x
14、+cos2x= sin2x+ cos2x=sin(2x+ )， 所以函数f(x)的单调递增区间是k- ,k+ (kZ). (2)因为f(A)= ,所以sin(2A+ )= ,又0A,所以 2A+ 0， 故cosB= ，所以B=45.12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：,1.(2011 浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=( ) (A)- (B) (C)-1 (D)1,【解析】选D.由acosA=bsinB可得sinAcosA= B, 所以sinAcosA+ B= B+ B=1.,2.(2012潍坊模拟)三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选C.a、b、c成等比数列， =ac, 在ABC中，由余弦定理得： cosB= = , 又c=2a, cosB=,3.(2011
