同构及同态（离散数学）

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1、6.5 同构及同态,6.5.1 同 态 映 射 6.5.2 同 构 映 射 6.5.3 同 态 核,6.5.1 同 态 映 射,定义. 设G是一个群，其运算是* ；K是一 个乘法系统，其运算为 ，称G到K的一个 映射是一个同态映射，如果对G中任意元 素a，b ，有 (a * b)=(a) (b) 注意：这个映射既不一定是单射也不一定 是满射。,例. 设(G，*)，(K，+)是两个群，令 ：x e， xG， 其中e是K的单位元。 则是G到K内的映射，且对任意a,bG， 有 (a*b)=e=e+e=(a)+(b)。 即，是G到K的同态映射。 (G)=e是K的一个子群, 记G(G)。,例.设G1是整

2、数加法群，G2是模n的整数加 法群，G2上的运算如下： a b= 令：x x(mod n)， xG1， 则是G1到G2的满射，且对任意a,bG1， 有 (a+b)=a+b(mod n) =a(mod n) b(mod n) =(a) (b) 。 是G1到G2的满同态映射。,例. 设G为整数加群，G 为实数加群， 令 ：x -x， xG， 则是G到G内的映射， 且对任意x1, x2 G， 有 (x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=(x1)+(x2)， 所以是G到 G的同态映射，显然是单射 但不是满射，(G)=Z 是G的子群。,设G是一个群， K是一个乘法系统， 是G 到K中的

3、一个同态映射， G=(G) ，则 G是一个群， G的单位元1就是G的单位元1的映像(1) ，即，1= (1)； 对任意a G， （(a)）-1 = (a-1) 。 称G和G同态，记为GG。,定理6.5.1,例. 对群(Z，+)和(C*，) ，若令 ：n in， n Z， 其中i是C的虚数单位。 则是Z到C*内的一个映射，且对m,nZ， 有 (m+n)=im+n= imin=(m)(n)。 即，是(Z，+)到(C*，)的同态映射， Z(Z)。 (Z)=1，-1，i，-i是C*的一个子群。,例. 群（R，+）和 (R+, )是同态的， 因为若令：x ex ， xR ， 则是R到R+的1-1映射，且

4、对 任意x1, x2 R ， 有 (x1+x2)=ex1+x2= ex1 ex2 =(x1) (x2)， 是（R，+）到(R+, )的满同态映射。,证明,(1) 因为群G非空，至少1G，故至少 (1)G，即G非空。 (2) 任取aG，bG， 往证abG。 因有a,bG, 使得 a=(a), b=(b)， 故按的同态性， ab= (a)(b)=(ab)， 而ab G, 因而ab =(ab) (G), 即 ab G。,(3) 往证G中有结合律成立： 任取a ,b,cG，往证 a (bc)=(ab)c。 因有a,b,cG,使得 a =(a), b=(b), c=(c)， 故按的同态性， a (b c

5、) = (a)(b)(c) = (a(bc) (ab)c= (a)(b)(c) = (ab)c) 因群G中有结合律成立,所以 a(bc)=(ab)c。于是 (a(bc)=(ab)c)。 因此， a (b c)=(ab)c。,(4) 往证G有左壹而且就是(1)， 即证对于任意的aG，有(1)a=a。 因有aG,使得 a =(a) ，按的同态性 (1)a = (1)(a)=(1a)=(a)=a。 (5) 往证G中任意元素(a) 有左逆且就是(a-1)。 由aG，且G是群，知a-1G，故( a-1 ) G。 由的同态性 (a-1)(a)=(a-1a)=(1)。 综上，G做成一个群， G的壹1=(1)

6、，G中(a)的逆是(a-1)。,6.5.2 同 构 映 射,定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统， 是G到K内的一个同态映射，如果是G到(G)上的1-1映射，则称是同构映射。 称G与(G)同构，记成G (G)。,例. 群（R+，）和（R，+）是同构的。因为若令 ：xlogx，xR+， 则是R+到R上的1-1映射，且对任意a,bR+， (ab)=log(ab)=log a + log b=(a)+(b)。 故是（R+，）到（R，+）上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数，若取(x)=log2 x，或若取(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构映射。 由此可见，群间可存在好多

7、个甚至是无限多个同构映射。,例. （R*，）与（R，+）不可能同构。 证明：用反证法。假设（R*，）与（R，+）同构，可设映射为R*到R上的一个同构映射，于是必有 ：1 0， -1 a， a 0。 从而， (1)=(-1)(-1) =(-1)+(-1)=a+a=2a。 则有2a=0，a=0，与a 0矛盾。故，原假设不对，（R*，）与（R，+）不可能同构。,例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对aG，n Z，使得 a=gn， 令 f：a n。 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取a,bG，则存在i,jZ，使得a=gi， b=gj， f(g

8、i gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。,自同构映射,定义. 设G是一个群，若是G到G上的同构映射，则称为自同构映射。 例. 恒等映射，称为恒等自同构映射。 例. 设（Z，+）是整数加法群，令 ：n -n， nZ ， 则是Z的一个自同构映射。 例. 设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射：a a-1 ( aG）是G的一个自同构映射: (ab)= (ab)-1 = b-1a -1 =a-1b -1=(a)(b),6.5.3 同 态 核,定义. 设是G到G上的一个同态映射，命N为G中所有变成G中1的元素g的

9、集合，记为-1(1)，即 N=-1 ( 1)=g gG ,(g)=1 则称N为的核。 例. 设G是整数加法群， G是模3的加法群：0，1，2，：x x（mod 3），xG ，则是G 到G上的同态映射。的核为3G。,群的第一同态定理,定理6.5.2 设是群G到G上的一个 同态映射，于是， 的核N是G的一个正规子群， 对于G的任意元素a， -1 ( a)=x|xG ,(x)= a 是N在G中的一个陪集，因此，G的元素和N在G中的陪集一一对应。,证明,先证N是G的子群。 1）证N非空。因为(1)=1，所以1N。 2）若aN，bN，往证ab-1N。由 （a）=1，（b）=1， 可得 (ab-1)=(a

10、)(b-1)=(a)(b)-1 =1(1)-1=1， 故ab-1N。,再证N是G的正规子群，即证对于任意的gG，gNg-1 N。事实上， (gNg-1)=(g)(N)(g-1) =(g)1(g)-1=(g)(g)-1=1。 故gNg-1 N。 （任取x gNg-1 , 则有n N，使得 x= gng-1 ,故 (x)=(gng-1 ) =(g)(n) (g-1 ) ) = (g)1 (g-1 )=(g) (g)-1=1， 因此， x N。,最后证明：若aG而(a)=a, 往证 -1(a)=Na。 事实上，对任意的bG， b-1(a)iff （b）=a iff (b)(a)-1=1 iff (b

11、)(a)-1 = (b)(a -1 ) =(ba-1)=1 iff b a-1N iff bNa,引理1,设N是群G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 证明：因为N是正规子群，故 Nb=bN， 今设A=aN，B=bN，则 AB=aNbN=abNN=abN， 所以AB也是N的陪集。,群的第二同态定理,定理6.5.3 设N是群G的正规子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个群 。 命 ：aaN，a G, 则是G到 上的一个同态映射，且的核就是N。 称为G对于N的商群，记为GN。 若G是有限群，则商群中元素个数等于N在G中的指数，即等于陪集的个数。,证明,首先证明G 。 1)

12、显然， 是G到 上的映射。 2）任取a,bG， (a)(b)=aNbN=abN=(ab)， 故是G到 上的同态映射.因此， 是一个群。 其次证明的核是N。因 单位元就是N本身，所以， 核=g(g)=N, gG =ggN=N, gG=ggN=N。,例. 设R是整数环， N=5I= ,-10,-5,0,5,10, ， 则N是G的正规子群。令 为G中N的所有陪集作成的集合： ， ， ， ， ， =,-10,-5,0,5,10, =N=0+N， =,-9,-4,1,6,11,=1+N， 用表示陪集间的加法，则 =(1+N)(4+N)=(1+4)+N=N= ， 在陪集加法下是一个群，若命：aa+N， 则

13、是G到 上的同态映射,且的核就是N。,群的第三同态定理,定理6.5.4 设是群G到G上的一个同态映射，若的核为N，则G G/N。 例. 设G是整数加法群， ：xx（mod 5），xG ，则 G=（G）=0，1，2，3，4 是模5的加法群，是G 到G上的同态映射。的核为N=5G， G/N = , , , , ， 则G G/N。,证明,因为G的元素和G/N的元素一一对应，设在这个一一对应之下，G的元素a和b分别对应G/N的元素aN 和bN： a aN， b bN。 于是a=（a），b=（b），而且ab=（ab），可见G的元素ab所对应的G/N的元素是abN=aNbN： ab aNbN。 所以G和G

14、/N同构。,证法二：建立映射 ：a -1(a), aG。 往证是G到G/N上的同构映射。 证是G到G/N内的映射。 任取aG,则有aG,使a=(a)。由定理 6.5.2，知-1(a)=aN。由定义， (a)=-1(a)=aNG/N。 证是满映射。 任取aNG/N，设(a)=a，则aG， 由定理6.5.2，知(a)=-1(a)=aN。,证是单射。 任取a,bG,若ab，证(a) (b)。若不然, (a) =(b)。 设a=(a), b=(b), a,bG, 于是，-1(a)=-1(b)，即aN=bN。 又a=a1aN,故abN，即有nN，使a=bn。因此， (a)=(bn)=(b)(n)=(b)， 与ab矛盾。,证是G到G/N的同态映射。 任取a,bG,设a=(a),b=(b), a,bG, 则 (ab)=(a)(b)= (ab)=-1(ab) =abN=aNbN=-