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1、教材：金波张正炳编者信号与系统分析高教出版社,1,1,第6章 连续信号的傅里叶级数分析,三角型和指数型傅里叶级数。 理解周期信号频谱的概念。 绘制周期信号的单边和双边离散频谱。 周期信号的分解与合成以及吉布斯现象。 确定傅里叶系数与周期信号对称的关系。 应用傅里叶级数分析系统。,2,周期信号可分解为,是 n 的偶函数,6.1 三角型傅里叶级数,傅里叶系数的计算,是 n 的奇函数,基波频率,周期,3,三角型傅里叶级数简洁形式,或,是 n 的偶函数,是 n 的奇函数,n次谐波分量,直流分量,任意周期信号可以分解为直流和各次谐波之和,4,例 6.1,求如图所示周期信号的傅里叶级数。,解 基波频率 ，
2、f(t)的平均值是每个周期的平均面积， 即,5,例 6.1,傅里叶单边频谱,傅里叶级数 幅度An与n的关系图称为幅度频谱, 相位n与n的关系图称为相位频谱。 两个图合称为单边频谱 。 n正比于频率n0，所以频率的间隔是基波频率0。 这种频谱图是离散的。,例 6.2,一个周期信号表示成三角型傅里叶级数为 画出f(t)的幅度频谱和相位频谱。,解 首先将同频率的正弦信号合并，即,将sin项转换成cos项，有,例 6.2,例 6.3,求如图所示周期信号的简洁三角型傅里叶级数。,解 周期T0=，基波频率0=2/T0=2 rad/s，所以,例 6.3,因此，简洁三角型傅里叶级数为,例 6.3,计算出前4次
3、谐波的表达式是,计算机例题C6.1,用MATLAB的符号计算方法可计算例6.3的傅里叶系数，根据计算出的系数画出单边幅度频谱和相位频谱。 程序 syms t n a0=1/pi*int(exp(-t/2),0,pi); a_0=subs(a0); an=2/pi*int(exp(-t/2)*cos(2*n*t),0,pi); bn=2/pi*int(exp(-t/2)*sin(2*n*t),0,pi); n=1:10; a_n=subs(an);b_n=subs(bn); A_n=sqrt(a_n.2+b_n.2); P_n=atan2(-b_n,a_n)*180/pi; n=0,n;A_n=
4、a_0,A_n;P_n=0,P_n; subplot(2,1,1);stem(n,A_n,fill);ylabel(An);xlabel(n) subplot(2,1,2);stem(n,P_n,fill);ylabel(phi_n(度);xlabel(n) disp(n An(幅值) 相位(度);disp(num2str(n,A_n,P_n),程序运行结果,傅里叶系数 n An(幅值) 相位(度) 0 0.50428 0 1 0.244611 -75.9638 2 0.125096 -82.875 3 0.0837563 -85.2364 4 0.0629122 -86.4237 5 0.0
5、50365 -87.1376 6 0.0419869 -87.6141 7 0.035997 -87.9546 8 0.0315021 -88.2101 9 0.0280047 -88.4089 10 0.0252061 -88.5679,周期信号的分解与合成,计算机例题C6.2 考虑例6.1的傅里叶级数，当最高谐波次数为3，9和17的合成波形。 n_max=3 9 17; N=length(n_max); t=linspace(-1,1,500); f=square(2*pi*t) w0=2*pi; for k=1:N n=; n=1:2:n_max(k); b_n=4./(pi*n); x
6、=b_n*sin(w0*n*t); subplot(N,1,k),plot(t,f,r:,t,x,linewidth,2); title(最高谐波次数=,num2str(n_max(k); end xlabel(Time(sec),15,例6.1波形傅里叶级数的部分和,16,6.2 指数型傅里叶级数,偶函数； 奇函数,17,6.2 指数型傅里叶级数,令：,表明任意周期信号可以表示成 的线性组合，加权因子为 。,称为指数型傅里叶系数,18,傅里叶系数间的关系,指数型傅里叶系数,19,傅里叶系数间的关系,傅里叶级数的各系数的关系为 ：,20,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,纵轴对称（偶函数）,
7、只含常数和余弦项。,21,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,原点对称（奇函数）,只含正弦项。,22,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,半周镜象对称（奇谐函数）,无偶次谐波， 只有奇次谐波,0=2/T0,23,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,半周重迭（偶谐函数）,无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。,实际周期T0/2,傅里叶级数包括了基波频率0的偶倍数次,24,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,删除直流分量可显示隐藏的对称性,根据周期信号的对称性与傅里叶系数的 关系，可使求解傅里叶系数的计算量大 大减少；也可以确定信号所含的频率分 量的类别；对绘波形图也有作用。,25,周期信号 f
8、 (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。,补充例题1,偶函数：只含余弦项； 半周重叠： 只含偶次谐波和直流,C,26,补充例题2,周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。,奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波,B,27,补充例题3,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件
9、绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数， 其傅里叶级数只有偶次谐波；,解：波形纵轴对称；半周重叠。,28,补充例题3,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数， 其傅里叶级数只有奇次谐波；,解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。,29,补充例题3,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数 同时有奇次谐波与偶次谐波；,解：波形纵轴对称。,30,周期信号的功率与Parseval定理,这就是Parseval定理,的定义,31,6.3 周期
10、信号的频谱分析,若周期信号为 f (t) ，周期为T0，其指数形式为 称 为f (t)的频谱; 显然， 在 处有意义，即不连续，故称为离散频谱。,32,频谱的概念,将各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律用图形的形式表示出来，这就是频谱图。通常称Fn或An为f(t)的频谱。 幅度频谱和相位频谱描述的是每个谐波的幅度与相位。 单边频谱指的是当n0时(正频率) An和n的图形表示 双边频谱指的是当n为任何值时(所有频率，正的和负的) Fn和n的图形表示,计算机例题C6.4,用MATLAB的符号计算方法计算例6.3的指数型傅里叶系数，根据计算出的系数画出双边幅度频谱和相位频谱。 程序 syms t n
11、 Fn=1/pi*int(exp(-t/2)*exp(-j*2*n*t),0,pi); n=-10:10; F_n=subs(Fn); Fm=abs(F_n); Fp=angle(F_n)*180/pi; subplot(2,1,1);stem(n,Fm,fill);ylabel(|Fn|);xlabel(n) subplot(2,1,2);stem(n,Fp,fill);ylabel(angle Fn(度);xlabel(n) disp(n Fn(幅值) 相位(度);disp(num2str(n,Fm,Fp),MATLAB画出的双边频谱图,35,补充例题4,已知时间函数画频谱图,36,例 6.5,已知频谱图求时间函数,课堂小结,重点与难点 傅里叶级数的三种形式 傅里叶系数间的关系 波形对称与傅里叶系数的关系 周期信号频谱的概念，单边频谱与双边频谱 周期信号的功率与Parseval定理 基本要求 三种傅里叶级数的定义 波形对称与傅里叶系数的关系 已知组合的正弦信号画频谱图，已知频谱图写出组合的正弦信号的表达式,作业,6-3 6-5 选做 6-16,39,课堂练习题,自测题6.1 自测题6.2 自测题6.3 自测题6.4,谢谢观看！ 2020,
