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1、沪科版八年级数学下知识点总结 二次根式知识点： 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、 分式等代数式， 但必须注意：因为负数没有平方根， 所以是为 二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而 ，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件： 由二次根式的意义可知， 当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被 开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示 a 的算术平方根，也
2、就是说，（）是一个非 负数，即0（） 。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术 平方根是正数， 0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平 方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用 较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（） 的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出 的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如： ，. 知识点五：二次根式的性质 文字语
3、言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则 等于 a 的相反数 -a, 即； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数， 即不论 a 取何值，一 定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与 都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：
4、当被开方数都是非负数， 即时，=；时， 无意义，而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（a0）、 x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、 a2、（ x+y）2、 x2+2xy+y2 等 （3）最终结果分母不含根号。 知识点八：二次根式的乘法和除法 1. 积的算数平方根的性质 ab=a b（a0，b0） 2. 乘法法则 a b=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术 平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3. 除法法则 a b=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算
5、法则，用语言叙述为：两个数的算数平 方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 4. 有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个 代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的 被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类 二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式， 再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算 1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使
6、用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化 分母有理化有两种方法 I. 分母是单项式 如: a/ b=a b/ b b=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ a b=a b/( a b)( a b)= a b/a b 如图 注意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 一元二次方程知识点： 1. 一元二次方程的一般形式 : a0 时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程 的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化 为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a
7、 、 b, 、 c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适 用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围 较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式 : 当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题： 0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实 根； 0 无实根；0 有两个实根（等 或不等） . 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax 2+bx+c=
8、0 (a 0) 时，如 0，有下列公式： . a c xx a b xx)2( a2 ac4bb x)1( 2121 2 2, 1 ，； 5. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） 2 (0)xa a解为：xa 2 ()(0)xab b解为：xab 2 ()(0)axbc c解为：axbc 22 ()() ()axbcxdac解为：()axbcxd （2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相 乘法 如： 2 0( ,0)()0axbxa bx axb此类方程适合用提供因 此，而且其中一个根为0 2 90(3)(3)0 xxx 2 30(3)0 xxx x
9、 3 (21)5(21)0(35)(21)0 xxxxx 22 694(3)4xxx 22 41290(23)0 xxx 2 4120(6)(2)0 xxxx 2 25120(23)(4)0 xxxx （3）配方法 二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除 于 2 进行配方，如下所示： 222 0()()0 22 PP xPxqxq 示例： 222 33 310()()10 22 xxx 二次项的系数不为 “1”的时候：先提取二次项的系数， 之后的方法同上： 2222 0 (0)()0 ()()0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa g 22 22 2 4 ()(
10、) 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例： 2222 1111 210(4 )10(2)210 2222 xxxxx （4）公式法： 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法 将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相 等的实根： 2 1,2 4 2 bbac x a 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实 根： 1,2 2 b x a 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤： 把 方 程 化 成 一 般 形 式 ： 一 元 二 次 方 程 的
11、 一 般 式 ： 2 0 (0)axbxca，并确定出a、b、c 求出 2 4bac，并判断方程解的情况。 代公式： 2 1,2 4 2 bbac x a （要注意符号） 5 当 ax 2+bx+c=0 (a 0) 时，有以下等价命题： ( 以下等价关系要求会用公式 a c xx a b xx 2121 ，；=b 2-4ac 分 析，不要求背记 ) （1）两根互为相反数 a b = 0 且 0 b = 0且0； （2）两根互为倒数 a c =1 且 0 a = c且 0； （3）只有一个零根 a c = 0 且 a b 0 c = 0且 b0； （4）有两个零根 a c = 0 且 a b =
12、 0 c = 0且 b=0； （5）至少有一个零根 a c =0 c=0 ； （6）两根异号 a c 0 a 、c 异号； （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 a c 0 且 a b 0a、 c 异号且 a、b 异号； （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 a c 0 且 a b 0a、 c 异号且 a、b 同号； （9）有两个正根 a c 0， a b 0 且 0 a 、c 同号， a 、 b 异号且 0； （10） 有两个负根 a c 0， a b 0 且 0 a 、 c 同号， a 、 b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项 式在实数范围内
13、不能分解. ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c= a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 . 7求一元二次方程的公式： x 2 - （x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为 整数. 8平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x） ： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x) 2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第 一年+第二年+第三年 =总和. 9分式方程的解法： .0) 1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母
14、法 .0 . 2分母，值验增根代入原方程每个 换元 凑元，设元， 换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法： . 0)3( 0)2( 0)4( 0)1( 0)4( 0)2( 0)3( 0)1( 0)4)(3( 0)2)(1( ) 3( ;02 ;1 分组为应注意： 的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（ 程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（ 11几个常见转化： ；或 ； )xx(xx4)xx()xx( )xx(xx4)xx()xx( xx2) x 1 x( x 1 x 2) x 1 x( x 1 xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx) 1( 2121 2 21 2 21
15、2121 2 21 2 21 21 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 2121 2 21 2 2 2 1 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xx xx xxx， 2 21112 121212 22 212 ()4xxxxxxx x xxx xx x 等 4xx.2 2xx2xx.1 2xx)2( 2 21 2121 21 ）两边平方为（ 和分类为 ； .,)2( 3 4 x x 3 4 x x ) 1( )
16、9 16 x x ( 3 4 x x )3( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 因为增加次数两边平方一般不用 和分类为 或； .0 x,0 x:. 1xx BsinAcos,1AcosAsin,90BABsinx,Asinx)4( 21 2 2 2 1 22 21 注意隐含条件可推出 由公式时且如 .0 x,0 x:.x,x), ,(,x,x)5( 2121 21 注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式 面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长 .k ,)6( ”辅助未知元“引入些线段的比，并且 可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的
