《最新高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高等代数(下)课外习题--第七章-线性变换（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章线性变换 一、判断题 1、 在向量空间 3 R中, 1231223 (,)(2,)x xxx xxx, 则是 3 R的一个线性变换. ( ). 2 、是 向 量 空 间V的 线 性 变 换 , 向 量 组 12 , m L线 性 相 关 , 那 么 12 (),(),() m L也线性相关 . ( ). 3 在向量空间 n Rx中, 则微商 ( )( )f xfx是一个线性变换. ( ). 4、 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). 5、 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). 6、向量空间V的线性变换的象与核都是的不变子空间. ( ). 7、 属于线性变换
2、同一特征根 0的特征向量的线性组合仍是 的特征向量 . ( ). 8、在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. ( ). 9、 设为n维 线 性 空 间V的 一 个 线 性 变 换 ， 则 由的 秩 的 零 度 n， 有 1 ( )(0).VV（） 10、n阶方阵 A至少有一特征值为零的充分必要条件是0| A( ) 11、 .最小多项式是特征多项式的因式. （） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式（） 13、设 nn PA ，A的特征多项式有 n个单根，则存在可逆矩阵 nn PT ，使 ATT 1 具 有对角形。（） 14、若是数域P上 n维线性空间的线性变换， 的特征值为 r , 2
3、1 ，则可对角 化特征子空间的维数之和等于n。 （） 15、 是n维线性空间V的一个线性变换，则 VV)0( 1 。 （F） 二、填空题 1、在 3 V的基 123 ,下的矩阵是 111213 212223 313233 aaa Aaaa aaa 那么关于基 3121 ,2的矩阵是 _. 2、 在 3 F中的线性变换 12312231 (,)(2,)x xxxxxxx, 那么关于基 123 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的矩阵是 _. 3、 0 ()0IA X的_都是A的属于 0的特征向量 . 4、 设V是数域F上的n维向量空间 , (),L V的不同的特征根是 12 , t
4、L, 则 可对角化的充要条件是_. 5、 矩阵 327 024 005 的特征根是 _. 6、复矩阵() ijn n Aa的全体特征值的和等于_ ，而全体特征值的积等于_ . 7、数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间( )L V为_维线性空间， 它与 _同构 . 8、设n阶矩阵A的全体特征值为 12 , n L，( )f x为任一多项式，则()f A的全体特征 值为 _ . 9、设 22 31 A ，则向量 1 1 是 A的属于特征值的特征向量 10、若 100 001 011 A 与 10 101 01 k k B 相似，则k= 11、n阶方阵 A满足 AA 2 ，则A的特征值
5、为 12、设 A 是有限维空间V 的线性变换， f ( )是 A 的特征多项式，那么f (A)=_ 13、已知三阶实对称矩阵 A的特征值为1，2，3，则 1 A的 特征值为。 14 、 21,A A 的 最 小 多 项 式 分 别 是 )(),( 21 xgxg ， 则 矩 阵 2 1 0 0 A A 的 最 小 多 项 式 是。 15、设四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 4321 1 , 1 , 1 , 1 ，则行列式 EB 1 。 三、单选题： 1、 “有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。 .A充分.B必要.C充分必要D. 以上都不对 2、若线性变换与是（） ，则的象与核都
6、是的不变子空间。 .A互逆的.B可交换的.C不等的D. 不可换的 3、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（） 合同的；相似的；相等的；正交的。 4、设三阶方阵A有特征值为2, 1, 1 321 ，其对应的特征向量分别是 321 ,xxx， 设, 123 xxxP，则APP 1 =( ) A. 200 010 001 B. 200 010 001 C. 100 010 002 D. 100 010 002 5、设A为可逆方阵，则A的特征值（） A全部为零B.不全部为零C.全部非零D.全为正数 6、设A为n阶可逆矩阵 ,是A的一个特征值 ,A为A的伴随矩阵 ,则A的特征值之一( ) A. n A 1
7、 B. A 1 C. AD . n A 7、 设A、B为n阶方阵，且A与B相似，E为n阶单位阵，则（） 。 （ A）BEAE（ B）A与B有相同的特征值和特征向量 （ C）A与B相似于一个对角矩阵（D）对任意常数t，BtEAtE与相似 8、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是（） 。 （ A）A的n个特征值互不相同（ B）A可逆 （ C）A无零特征值（D）A有n个线性无关的特征向量 9、设可逆矩阵A有一个特征值为2，则 12 ) 3 1 (A有一个特征值为（） 。 （A） 2 1 （ B） 4 1 （C） 3 4 （D） 4 3 10、n 阶方阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是A 与对角
8、阵相似的（） （A）充要条件(B) 充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件（D）既非充分亦非必要条件 四、计算题 1、设 a A 33 242 111 与 b B 00 020 002 相似 （1）求ba,的值；（ 2）求可逆矩阵，使BAPP 1 2、 3 F中 ， 线 性 变 换关 于 基)1 , 1 , 1(1，) 1,0, 1( 2 ，)1 ,1 ,0( 3 的 矩 阵 为 121 011 101 A （1）求关于标准基 321 ,的矩阵； （ 2）设 321 6, 321 ,求)(),(关于基, 321 的坐 标 3、设是 3 R的线性变换 ,)2,2(),( 32132321321
9、 xxxxxxxxxxx （1）求 )Im( 的一个基和维数； （2）求 )(Ker 的一个基和维数 4、判断矩阵A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形. 133 313 331 A 5、在线性空间Pn中定义变换 ： 122 (,)(0,) nn xxxxx （1）证明： 是 Pn的线性变换 . （2）求() n P与 1( ). o 6、已知矩阵A= x10 100 002 与 B= 100 0y0 002 相似，求x 和 y 的值，并求A 的特征向量。 7、 3 R的线性变换为 12312323123 (,)(2,33,2)xxxxxxxxxxx 求的象与核的维数. 8
10、、设 三阶实对称矩阵A的特 征值为, 1 1 ,2 32 1 1 对 应的特征向量为 1 1 1 1 ， （1）求2 32 对应的特征向量； （2）求矩阵A。 9、设 3 阶对称矩阵A的特征值为6，3，3，与特征值6 对应的特征向量为 1 1 1 1 ，求A。 10、()3, ij AaABO设3阶方阵的每行元素之和为且满足其中 12 01 20 B 判断矩阵 A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形 .。 五、证明题 1、证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。 2、 F x的两个线性变换为：对任意( ) f xF x，( )( ), ( )( )f
11、xfxf xxf x 证明：. 3、 证明：若(),( )fg， 则()d， 其中( )d x是 F x中多项式( )f x与( )g x 的最大公因式。 4、令 123 (,)x xx是 3 R中任意向量，是线性变换 : 12232 ( )(,)xxxxx 试证可逆。 5、设V的两个线性变换与是可变换的。试证的象Im( )与核( )Ker都是的不变 子空间。 6、若 A 是一个 n 阶矩阵，且A 2A，则 A 的特征值只能是 0 和 1. 1设 A 是n阶矩阵， 且有nIArIAr)()(，IA，证明： -1 是 A 的特征值 7、设A与B为n阶矩阵，0A，则AB与BA相似。 8、设A为正定矩阵，证明：1EA。
