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1、高三数学解析几何复习：直线与圆锥曲线人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：解析几何复习：直线与圆锥曲线二. 教学目的1、了解直线和圆锥曲线的位置关系；2、掌握解决直线和圆锥曲线的各种位置关系及相关问题的方法与技巧。三. 教学重点、难点 本讲的重点是直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系，直线与抛物线的位置关系，数形结合、分类讨论、方程思想方法的应用 本讲的难点是弦长问题及中点弦问题四. 知识分析【知识梳理】1、直线和圆锥曲线的位置关系（1）从几何角度看，可分为三类：相离、相切及相交，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决
2、直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示直线与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦（2）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断直线l的方程为（A、B不同时为零）圆锥曲线方程由，消元（或），如消去后得若，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行（或重合）若，设 （i）时，直线和圆锥曲线相交于不同的
3、两点；（ii）时，直线和圆锥曲线相切于一点；（iii）时，直线和圆锥曲线没有公共点 直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交于不同的两点：相交不同两点联立方程组有两组不等的实数解二次方程有两个不等实数解判别式大于零2、直线和圆锥曲线相交形成的弦长问题（1）斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用韦达定理，即作如下变形（2）当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式）（3）经过圆锥曲线的焦点的弦（也称焦点弦）的长度应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷（4）在给定的圆锥曲线中，求中点为（m，n）的弦AB所在直线方程时，一般可设利
4、用A，B在曲线上，得及，故可求出斜率，最后由点斜式写出直线AB的方程【要点解析】1、涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用平方差法找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系2、有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：（1）两点连线与该直线垂直（两直线都有斜率时，斜率互为负倒数）；（2）中点在此直线上（中点坐标适合对称轴方程）3、直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了高中解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等许多知识，形成了轨迹、最值、对称
5、、范围、参系数等多种问题，因而成为解析几何中综合性最强，能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点【典型例题】 例1. （直线与圆锥曲线的位置关系）已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（）。（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围。解析：（1）设双曲线方程为，由已知得。故所求双曲线方程为。（2）将代入，可得，由直线l与双曲线交于不同的两点A，B得，故设，则，由，而，于是解此不等式得由得。点评：在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去或，得到关于或的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一
6、元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形。例2. （弦长问题） 椭圆相交于A、B，C是AB的中点，若，OC的斜率为，求椭圆的方程。解法1：设，代入椭圆方程并作差得而，代入上式可得。再由，其中是方程的两根，故将代入得，所求椭圆的方程是。解法2：由得设，则设，则的斜率为。代入，得。椭圆方程为。点评：解法一利用了设点、代入、作差，借助斜率的解题方法，称作“平方差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线位置关系的常用技巧，应在理解的基础上进行记忆。解法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间的距离公式求得的，再者
7、就是结合弦所在直线的斜率k，利用弦长与韦达定理结合较简单，如果是焦点弦，可结合圆锥曲线的定义求解。 例3. （对称问题）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得椭圆E上存在两个不同的点关于直线对称。解法1：设是椭圆E上关于直线l：对称的两个点，则由得，联立解得：代入得：所以解法2：设是椭圆E上关于l对称的两点，则直线AB：与椭圆方程联立，消去x得此方程有两实根，解之，得（*）由韦达定理，得，弦AB中点的纵坐标是。又弦AB的中点是直线的公共点，解方程组得弦AB中点，即，代入（*）式，得，。点评：本题主要考查椭圆及对称的有关知识，同时考查数形结合的思想、方程的思想，运算能力、综合分析问题的能力。（1）本
8、题的关键是对称条件的转化，解法一是利用椭圆上的点A（），B关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB中点坐标满足l方程；解法二是利用直线l与斜率为的动弦中点轨迹有公共点进行转化的。（2）对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，可用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的范围；或者利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解。（3）有些问题虽然没有直接以中点弦命题，但题设条件中有诸如：垂直平分某线段、某三角形为等腰直角三角形、两点关于某直线对称等条件，一般都可以转化为中点弦的问题，在解题时只需抓住垂直、平分、判别式大于零
9、三个方面即可。 例4. （最值问题）设点是椭圆的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求的面积的最大值。解析：如图。设（）设直线AB的方程为，代入椭圆方程，得令，。，当且仅当时，等号成立。而因为，所以的最小值达不到。考查上的单调性。利用单调性定义可以证明：上单调递增。因此，的最小值为。从而的最大值为，此时，即。的面积的最大值为，此时直线的方程为。点评：此题是一道综合性较强的题目：首先在于直线AB方程的设法上，我们把它设为，此时当轴时，即可。按照通常的点斜式，那么需讨论轴的情形。从运算结果看，把AB方程设为，运算量大大减小。其次得到关于m的目标函数后，如何求其最大值是关键，也是一个难点。因此在运用基本不
10、等式求最值时，必须检查等号能否成立。本题是一道较特殊的题，由于的周长为定值，由平面几何知识知道的面积最大，当且仅当它为等边三角形。我们考虑轴时，。因此，恰为等边三角形，故的最大值为。本题如果轴时，不是等边三角形，那么就不能认定最大值为，而要具体求解。圆锥曲线中最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等。 例5. 已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，
11、且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M，N，满足（O为原点）。若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由。解析：（1）解法一：直线l：，过原点垂直l的直线方程为，解得。因为椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，所以。又直线l过椭圆焦点，于是该焦点坐标为（2，0），。故椭圆C的方程为。解法二：直线l：设原点关于直线l的对称点为（），则解得。椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）。故椭圆C的方程为。（2）解法一：设M。当直线m不
12、垂直x轴时，直线m：代入，整理得，则点O到直线MN的距离。，即，整理得当直线m垂直x轴时，也满足。故直线m的方程为。经检验上述直线均满足所以所求直线方程为。解法二：设当直线m不垂直x轴时，直线m：代入，整理得是椭圆C的左焦点，以下与解法一相同。解法三：设M设直线m：，代入，整理得，即，整理得。解得或。故直线的方程为经检验上述直线均满足所以所求直线方程为。【模拟试题】 1. 抛物线的弦AB垂直于x轴，若AB的长为，则焦点到AB的距离为（ ）A. B. 2C. 3.D 4 2. 过双曲线的左焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D
13、. 4条 3. 若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）A. 2B. C. D. 4. 已知椭圆，则以（1，1）为中点的弦的长度为（ ）A. B. C. D. 5. 直线的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（ ）A. B. C. D. 6. 一个正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点在原点，则此三角形的面积是_。 7. 椭圆与直线交于M、N两点，原点与线段MN中点的连线的斜率为，则的值是_。 8. 设直线，直线经过（2，1）点，抛物线，已知与C共有三个交点，那么满足条件的直线共有_条。 9. 已知：抛物线，弦AB过焦点F，设的面积为S，求证：为定
14、值。 10. （2004全国III）设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P，使得直线与直线垂直。（1）求实数m的取值范围；（2）设l是相应于焦点的准线，直线与l相交于点Q，若，求直线的方程。 11. （2005全国III）设、B两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。（1）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F。证明你的结论；（2）当时，求直线l的方程。【试题答案】 1. B把中，得。则AB的直线方程为。又焦点到AB的距离为2，故选B。 2. C如图过F与双曲线两支均相交的最短弦长恰为两顶点间的距离即为2，而。由对称性知，过F与双曲线两支均相交且弦长为4的直线有2条，又当轴时，易知|AB|=4，由直觉知，过F与双曲线左支相交于两点的最短弦长恰为轴时的情形，因此符合条件的直线l共有3条。故选C。 3. D设弦端点A、，故选D。 4. C依题意设弦端点，则，此弦直线方程，即，整理得，故选C。 5. B依题意，点在椭圆上，
