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1、【创新设计】2014高考数学一轮复习 第九章 分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练 理 新人教A版第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如2012年北京T6，浙江T6等.归纳知识整合1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有Nm1m2mn
2、种不同的方法探究1.选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理2分步乘法计数原理完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法探究2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理自测牛刀小试1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取
3、一个球，不同取法的种数为()A182B14C48 D91解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848.2某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A3种 B6种C7种 D9种解析：选C分3类：买1本书，买2本书和买3本书各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317种3从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30 B20C10 D6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N3
4、36种4如图，从AC有_种不同的走法解析：分为两类：不过B点有2种方法，过B点有224种方法，共有426种方法答案：65设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为_解析：建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有238个答案：8分类加法计数原理例1(1)(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12 D6(2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A80 B120C14
5、0 D50自主解答(1)法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以nCCACC12618；法二：(间接法)奇数的个数为nCCCACC18.(2)分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是CA，此时的方法数是CCA60；若甲组3人，则方法数是CA20.根据分类加法计数原理得总的方法数是602080.答案(1)B(2)A本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？解：能被5整除的数分两类：当个位数是0时，有A6个；当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有CA4个故共有12个能被5整除的数 使用分类加
6、法计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理1若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“良数”例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1 000的“良数”的个数为()A27 B36C39 D48解析：选D一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,2
7、1,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共339个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3927个根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的“良数”分步乘法计数原理例2学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有_种(用数字作答)自主解答有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，
8、(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法624144种答案144使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 (1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.2将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA4，由
9、分类乘法计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240两个计数原理的综合应用123456789例3用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种自主解答分步求解只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为22，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C(22C1)(22C1)366108.答案108应用两个原理解决实际问题的注意点在解决实际问题中，并不一定是单一的分类
10、或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系3如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A288种B264种C240种 D168种解析：选B分三类：B，D，E，F用四种颜色，则有A1124种方法；B，D，E，F用三种颜色，则有A222A21192种方法；B，D，E，F用两种颜色，则有A2248，所以共有不同的涂色方法2419248264种2个区别两个计数原理的区别分类加
11、法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏3个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便
12、于探索规律；(3)混合问题一般是先分类再分步. 数学思想计数原理中的分类讨论从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步要求既要会合理分类，又要能合理分步典例(2012浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种C65种 D66种解析对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有CCCC66种答案D(1)本题主要考查排列
13、组合计数问题，可通过分类讨论思想进行求解，即把所取的4个数分为三类求解(2)对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象1已知a，b0,1,2，9，若满足|ab|1，则称a，b“心有灵犀”则a，b“心有灵犀”的情形共有()A9种B16种C20种 D28种解析：选D当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数故共有28种情形.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A30个B42个C36个 D35个解析：选Cabi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数2高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()A16种 B18种C37种 D48种解析：选C三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337种3(2013哈尔滨模拟)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A，B之间线路不通，则焊
