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1、八年级数学培优专题讲解勾股定理 【培优图解】 【技法透析】 勾股定理是几何中重要的定理之一，它是把直角三角形的“形” 与三边关系这一 “数” 结合起来，是数形结合思想方法的典范 1勾股定理反逆定理的应用 主要用于计算和证明等 2勾股数的推算公式 若任取两个正整数m、 n(mn)，那么 m2n2，2mn，m2n2是一组勾股数 如果 k 是大于 1 的奇数，那么k， 2 1 2 k ， 2 1 2 k 是一组勾股数 如果 k 是大于 2 的偶数，那么k， 2 1 2 k ， 2 1 2 k 是一组勾股数， 如果 a，b，c 是勾股数，那么na，nb，nc(n 是正整数 )也是勾股数 3创设勾股定理
2、运用条件 当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段代换、作辅助线段等途径，为勾股定 理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系 在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60或 90，旋转过程中角度、 线段的长度保持不变，在新的位置上分散条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思 路 【名题精讲】 考点 1运用勾股定理解有关折叠问题 例 1 如图， 折叠长方形ABCD 一边，点 D 落在 BC 边的点 F 处，若 AB 8cm，BC 10 cm，求 EC 的长 【切题技巧】由图形易知ADF AFE ，从而 AD AF，DEEF 先在 RtABF 中用勾股定理求出
3、BF， 再在 RtEFC 中由勾骰定理列方程可求EC 的长 【规范解答】 【借题发挥】图形折叠问题一般是“全等形”，或“等腰三角形”等对称图形问题， 勾股定理是常常用到的计算方法，体现了勾股定理作为主要计算工具在解决与直角三角形 相关图形变换的综合题中的具体应用 【同类拓展】 1把一张长方形纸片(长方形 ABCD) 按如图 172 所示的方式折叠，使 顶点 B 和点 D 重合，折痕为EF若 AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF 的面积是 _cm 2 考点 2运用勾股定理的逆定理求角度 例 2 如图，在正方形ABCD 中， PA 1，PB2，PC3，P 在正方形内部，试求 APB 的度数 【
4、切题技巧】 【规范解答】 【借题发挥】旋转变换后再运用勾股定理及逆定理是求三角形角的度数的常见方 法，即用恰当的旋转变换方式来构建直角三角形能够使用旋转法的条件是旋转后的图形 与原图形有边相等能够重合 2如图，等边ABC 内有一点P，若点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别为3、4、5， 求 APB 的度数 考点 3求立体图形中的两点之间的最短距离 例 3 如图所示，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到 B点，那么沿哪条路线 最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm、宽为 1cm、高为 4cm 【切题技巧】由于蚂蚁沿长方体的表面爬行，故需把长方体展开成平面图形，根据 两点之间线段最短和“
5、勾股定理”可求解 【规范解答】 【借题发挥】“最短路线”是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地，求“最 短路线”要“立体问题”转化为“平面问题”，这类问题涉及到的几何体主要有长方体、 正方体、圆柱、圆锥等在将几何体的表面展开时，要注意确定展开图中两点的相应位置同 时，由于将几何体的表面展开时可能有几种不同的情况，因此，有些问题可能会求得几个 不同的结果，这就需要通过分析比较后才能确定适合题意的答案 【同类拓展】3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、 3cm 和 lcm，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，它想到B 点去吃 可口的食物请你想一想，这
6、只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短路线的长 是多少？ 考点 4勾股定理反其逆定理的综合运用 例 4 如图所示，正方形ABCD 中， E 是 AD 中点，点F 在 DC 上，且 DF 1 4 DC， 试判断 BE 和 EF 的位置关系？并说明你的理由 【切题技巧】观察图，会给我们BE 与 EF 垂直的直观印象若直接证明BE 与 EF 垂直，则十分困难若连接BF，设 DF a，利用勾股定理及其逆定理证明BEF 为直角 三角形，得到BEEF 【规范解答】BF 和 EF 的位置关系是：BEEF 【借题发挥】勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题时是密不 可分的，通常既要通过勾
7、股定理求出三角形边长，又要通过逆定理判断一个三角形是直角 三角形，两者相辅相成 4如图，在四边形ABCD 中， ABC 30， ADC 60， ADCD，求证： BD 2 AB 2BC2 考点 5勾股定理在实际问题中应用 例 5如图(1)，护城河在CC处直角转弯，宽度保持4 米，从 A 处往 B 处，经过两座桥：DD、EE设护城河是东西南北方向的，A、B 在 东西向相距64 米，南北方向相距84 米，恰当地架河可使AD 、DE、EB 的路程最短，这 个最短距离是_米 【切题技巧】要判断最短路程，需先确定两座桥的位置，确定桥的位置后，再根据 护城河的直角转弯形成的直角三角形利用勾股定理求解 【规
8、范解答】如图 (2)， 作 AA CD， AA DD ， BBCE， BB EE， 则折线 ADDEEB 的长度等于折线AA ，DEBB的长度，即等于折线ADEB 的长度 AA BB 而折线 ADEB 以线段AB 最短，故题目所求最短路程SAB 8，而 A、B在东西方向上相距 为 64460（米） ，在南北方向上相距84880（米） 由勾股定理可知，AB 22 6080100(米)，S108（米） 【借题发挥】实际问题中，最短路程问题等常常在构造直角三角形后，利用勾股定 理计算求解 5如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格 为 56 10(单位： cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管
9、长为 13cm，小孔到图中边AB 距离为 1cm，到上盖中与AB 相邻的的两 边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则 h 的最小值 大约为 _cm （精确到个位，参考数据：2 1.4，31.7，52.2） 考点 6勾股定理与函数的综合问题 例 6如图，在平面直角坐标系中，双曲线y 4 x 与直线y 4 x 交于点A、B(1) 求 AB 的长 (2)若点 P 是第一象限双曲线上一动点，如图所示，BCAP 于点 C，交 x 轴于点 F，AP 交 y 轴于点 E，试判断 22 2 AEBF EF 的值是否为定值？并加以证明 【切题技巧】(1)因为 A、B 为双曲线与直线的交点，所以只需将
10、两个已知函数的解 析式成方程组， 它们的解即交点A、 B 的坐标 (2)从结论 22 2 AEBF EF 入手，联想勾股定理， 通过作辅助线将AE、BF、EF 这三条线段转移到同一直角三角形中 【规范解答】 【借题发挥】(1)当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在直角 三角形中则应添加辅助线，将分散的线段集中在同一直角三角形中，本题还可以过点B 作 BNAE 交 y 轴于点 N，将三条线段收集在Rt BNF 中，如图 1711所示 (2)利用“中 点”能构成多种辅助线，要根据题目的需要进行构造 【同类拓展】6已知 OMN 中， OMON， MON 90，点 B 为 MN 的延长
11、 线上一点， OCOB且 OCOB，OG BC 于 G，交 MN 于点 A (1)如图所示，求证：CMB 90；求证：AM 2BN2AB2； (2)如图，在条件(1)上，过 A 作 AEOM 于 E，过 B 作 BF ON 于 F，EA、BF 的 延长线交于点P，则 PA、AE、BF 之间的数量关系为_； AME 、 PAB、 BFN 的面积之间的关系为_ (3)如图， 在条件 (2)下，分别以 OM、ON 为 x 轴和 y 轴建立坐标系， 双曲线 y k x 经 过点 P，若 MN 22，求 k 的值 参考答案 1.5.1 2.150 3.13cm 4.略 5.2 6.(1)略(2)(2)AE 2+BF2=PA2. SAME+SBFN=SPAB .
