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1、2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题【知识纵横】 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例1】（重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另
2、一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（2）按照等边EFG和矩形ABCD重叠部分的图
3、形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况讨论。（3）当AOH是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求t的值。【例2】（广西梧州）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD6cm，AB8cm，BC14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿CB方向做匀速运动，点Q沿CDA方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）求CD的长；（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为cm/s，要
4、使在运动过程中出现PQDC，请你直接写出的取值范围【思路点拨】（1）作辅助线：过D点作DHBC。（2）分Q在CD和Q在DA上两种情况讨论。（3）要使运动过程中出现PQDC，根据平行四边形判定，只要考虑QDPC即可。【例3】（山东青岛）如图，在ABC中，ABAC10cm，BDAC于点D，且BD8cm点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F连接PM，设运动时间为ts(05)(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？(2)设四边形PQCM的
5、面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCMSABC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(4)连接PC，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由【思路点拨】(1) 假设四边形PQCM是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下底和高用来表示。（3）在假设S四边形PQCMSABC的条件下，求出，讨论。（4）在假设点M在线段PC的垂直平分线上，求出此时的值。【例4】（湖南湘潭）已知，AB是O的直径，AB=8，点C在O的半径OA上运动，PCAB，垂足为C，PC=5，PT为O的切线，切点为T（1）如图（1
6、），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：POBT；（3）如图（3），设PT2=，AC=，求与的函数关系式及的最小值【思路点拨】（1）连接OT。（2）连接AT。（3）连接OP、OT，应用勾股定理，可得出与之间的关系式。【学力训练】1、（山东聊城）如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动设移动开始后第ts时，EFG的面积为Scm2(1)当1s时，S的值是多少？
7、(2)写出S与之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；(3)若点F在矩形的边BC上移动，当为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。2、（吉林省）如图，梯形ABCD中，ADBC,BAD=90，CEAD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P沿A-B-C-E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，PA Q的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)解答下列问题：(1) 当x=2s时，y=_ cm2;
8、当= s时，y=_ cm2(2）当5 x 14 时，求y与之间的函数关系式。(3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时的值。（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值3、（江苏淮安）如图，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2。.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（0），正方形EFGH与ABC重
9、叠部分面积为S.（1）当1时，正方形EFGH的边长是 ；当3时，正方形EFGH的边长是 ；（2） 当02时，求S与的函数关系式；（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？4、（贵州贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多
10、少？（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例1】（重庆）解：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，BC=2，tanCFB=，即tan60=。（3）存在。理由如下：在RtABC中，tanCAB=，CAB=30。又HEO=60，HAE=AHE=30。AE=HE=3t或t3。1） 当AH=AO=3时，（如图），过点E作EMAH于M，则AM=AH=，在RtAME中，cosMAE，即cos30=，AE=，即3t=或t3=。t=3或t=3+。2）当HA=
11、HO时，（如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE。又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1。即3t=1或t3=1。t=2或t=4。3）当OH=OA时，（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点E和点O重合。AE=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0。综上所述，存在5个这样的t值，使AOH是等腰三角形，即t=3，t=3+，t=2，t=4，t=0。又DHHC，DHBC，C45。 在RtQCG中，QGQCsinC2tsin452t。又BPBCPC14t，SBPQBPQG（14t）2t14tt2。当Q运动到D点时所需要的时间t4
12、。S14tt2（0t4）当Q在DA上时，过Q点作QGBC，垂足为点G，则QGAB8cm，BPBCPC14t。SBPQBPQG（14t）8564t。当Q运动到A点时所需要的时间t4。S564t（4t4+）。综合上述，所求的函数关系式是：S。（3）要使运动过程中出现PQDC，的取值范围是1。又MCACAN102，。与之间的函数关系式为：。（3）SABC。当时，即。 解得，（舍去）。当时，S四边形PQCMSABC。（4）假设存在某一时刻，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC。过M作MHAB，交AB于H。则AHMADB。又，。【例4】（湖南湘潭）解：（1）连接OT， 当C点运动到O点时，PT为
13、O的切线，OTPT,在RtPTO中，(2)连接AT，当C点运动到A点时，PCAB，PA是O的切线。PT为O的切线，PA=PT，PO平分APT。POAT。AB是O的直径，ATB是直角，即BTAT。POBT。连接OP、OT，AC=，在RtPCO中，在RtPOT中，,，即。当=4时，最小其值为9。与的函数关系式为， 的最小值是9。【学力训练】1、（山东聊城）解：（1）如图1，当秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2由 =（2）如图1，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时即（）。若即，解得。又满足，所以当时，EBFFCG。若即，解得。又满足，所以当时，EBFGCF。综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似。2、（吉林省）解：（1） 2，9。（2）分三种情况： 当59时（如图），y= S梯形ABCQ SABP SPCQ 。当913时（如图），当1314时（如图）， （3） 当动点P在线段BC上运动时，即14+49 = 0。解得1 = 2 = 7。当=7时，。（
