《2012年中考数学总复习解题方法三 推理与证明.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年中考数学总复习解题方法三 推理与证明.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、推理与证明一、利用三角形全等证明线段相等和角相等我们知道如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等提供了方法。例1 已知：如图，为上一点，点分别在两侧，求证：ACEDB 分析：从图形中我们发现，AC、CD正好是 ABC和CDE的对应边，我们只要证明了ABC和CDE全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件：B=E题目中的第二个条件：，正好分别是等角的边。这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。证明：，在和中，在上面的证明过程中，我们是怎样书写
2、证明过程的呢？上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了一个逻辑推理。，这个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中已经具备了两个，还需要一个条件，这个推理为三角形全等找到了第三个条件。第二部分，证明两个三角形全等。第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。例2 如图，在等腰梯形中，是的中点，求证： 分析：从图中我们发现，线段MB，MC可以看成是ABM和CDM的对应边，我们只要证明了ABM和CDM全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。题目中的第一个条件：在等
3、腰梯形中，AB=CD，A=D题目中的第二个条件：是的中点AM=DM。这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。证明：在等腰梯形中， 是的中点 在和中， （SAS）上面的证明过程可以分为三部分：第一部分，使用了两个逻辑推理。在等腰梯形中， 是的中点 这两个推理为后面证明两个三角形全等起到准备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中没有给出现成的条件，需要寻找三个条件，这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。第二部分，证明两个三角形全等。第三部分，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。例3 已知：如图，四边形ABCD中，求证：分析：根据上面的经验，如果我们能把A，C看作
4、两个三角形的对应角，我们只需证明两个三角形全等即可。但是图中没有三角形，怎么办？我们可以添加“辅助线”，构造全等三角形。如图，连接B、D，得到ABD和CBD，我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。显然，已知条件中已经有了两个全等的条件，而我们添加的“辅助线”正好是两个三角形的公共边，是全等的第三个条件。这时，两个三角形全等的条件已经具备，我们来书写证明过程：证明：连接BD在和中， 另外，我们还可以这样来添加“辅助线”：如图，连接A、C，得到ABC和ACD，我们只要能够证明BAD和BCD被AD分成的两部分分别相等就可以了。题目中的第一个条件：AB=BCBAC=BCA题目中的第二个条件：AD=
5、CDDAC=DCA 证明：连结，同理 这个证法使用等边对等角，先证明了BAD和BCD的两个部分分别相等，又使用等式的性质，证明了BAD和BCD整体相等。例4 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且求证：是的中点.分析：这个题目要证明D是BC的中点，也就是证明BD=DC，也是证明两条线段相等，从图中我们可以看出，BD与DC所在的两个三角形ABD和ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC是不行的。我们再仔细、全面地观察图形，发现AEF和DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：是的中点AE=DE
6、题目中的第二个条件：过点作的平行线交的延长线于，即AFBCAFE=DBE 题目中的第三个条件：如果AF=BD成立，则BD=DC成立。 图中还有一对对顶角。 这时，可以先证AEF和DBE全等，得到AF=BD，然后根据，可以得到BD=DC了，下面书写证明过程：证明：是的中点 AE=DE AFE=DBE在AEF和DEB中 AEFDEB AF=DB DB=DC即是的中点 在这个题目中，BD与DC所在的两个三角形ABD和ACD的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明BD=DC不行，而发现AEF和DBE的形状、大小相同，这两个三角形有可能全等（实际上AEF和DBE全等）。在证明了这两个三角形全等后，题
7、目的第三个条件就是一座桥，通过这个条件使证明得以完成。 例5 在梯形ABCD中，ABCD，A=90， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点求证：CEBE 分析：如图，要证明CEBE，有两种方法：一是证明BCE是直角三角形；二是证明CED+BEA=90。 （一）如果证明BCE是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边CE、BE、CD的长度。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：在梯形ABCD中，ABCD，A=90D=90即ECD和EBA都是直角三角形。题目中的第二个条件：AB=2，BC=3，CD=1，这些数据可以帮助我们分别求出CE、BE的长度。题目中的
8、第三个条件：E是AD中点DE=AE=AD在RtECD和RtEBA中，要分别求出CE、BE的长度还需要知道DE和AE的长度，而DE=AE=AD，因此，需要求出AD的长度。如图，通过作“辅助线”：过C作CFAB，垂足为F，很容易知道四边形AFCD是矩形，CF=AD，CBF也是直角三角形。我们可以在这个直角三角形中求出CF的长，这样也就知道了DA的长，进而DE、AE的长也知道了。要求出CF，关键是知道BF=ABCD=1。 证明: 过点C作CFAB，垂足为F 在梯形ABCD中，ABCD，A=90， DACFA90 四边形AFCD是矩形 AD=CF AF=CD BF=AB-AF=ABCD=1在RtBCF
9、中，根据勾股定理，得 CF2+BF2=BC2 CF= AD=CF=E是AD中点 DE=AE=AD=在RtABE中，根据勾股定理，得 AE2+AB2=BE2 BE2=6 同理，EC2 =3， 在BCE中，EB2+ EC2=9=BC2 CEB90即EBEC （二）如果证明CED+BEA=90，由于题目中给出已知条件是线段的长度，在一般情况下，只知道线段的长度是不能求出CED和BEA的度数，显然不能利用这种方法证明结论成立。（注意：如果CED+BEA+CEF+BEF=180，且CED=CEF，BEA=BEF，就可以得到：CED+BEA+CEF+BEF=2（CED+BEF）=180CED+BEF=90
10、）例6 把两个含有45角的直角三角板ABC和EDC如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F求证：AFBE 分析：图中有两个等腰直角三角形，就有很多相等的线段和角，证明三角形全等比较容易。但是图形比较复杂，不容易找出全等三角形。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：两个含有45角的直角三角板ABC和EDCAC=BC，CD=CE，ABC=DCE=90ACD和BCE全等题目中的第二个条件：点D在BC上BC与AF相交与DADC=BDF 利用全等三角形对应角相等，可以得到DACEBC，再利用对顶角相等，可以知道BFD和ACD已经有两个角对应相等，那么第三个角一定相等。
11、而第三个角中有一个角是直角，那么另一个角也一定是直角。 证法一：在ACD和BCE中 ACDBCE（SAS） DACEBC ADCBDF ACD=BFD90 即AFBE 我们发现上面使用红字的推理使用了简写，完整的书写应该是：在ACD和BCE中DACEBC ADCBDF DACADC 180（DACADC）=180（EBCBDF） 即ACD=BFD ACD=90 BFD90 即AFBE证法二：在RtACD和RtBCE中， ACBC DCEC， 即tanDACtanEBC DACEBC ADCBDF EBCBDFDACADC=90 BFD=90 AFBE （注意：在直角三角形中，如果两个角的三角函
12、数值相等，那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不一定成立。）二、与四边形有关的证明与四边形有关的证明，主要是证明符合条件的图形是我们熟悉的特殊四边形。这类题目的证明，首先要求我们熟悉各种特殊四边形的性质和判定，然后根据题目的已知条件选择方法，最后完成证明。例7 如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点证明四边形是平行四边形；分析：要证明一个四边形是平行四边形，可以根据题目中的条件，选择适当的方法完成证明。根据题目中的条件：分别是的中点FHBE，FH=BE=GE四边形EGFH是平行四边形证明：在中，G，F分别是的中点 且H是的中点， 且四边形是平行四边形例8 如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是矩形 分析：要证一个平行四边形是菱形，只需证这个四边形有一组邻边相等。我们从已知条件出发，展开联想：题目中的第一个条件：平行四边形中，对角线AC、BD交于点OO为线段AC的中点O为线段AC中垂线上的点题目中的第二个条件：是延长线上的点，且是等边三角形AE=CEE为线段AC中垂线上的点这样OE为线段AC的中垂线，而D在OE上DA=DC（1）_证法一：四边形是平行四边形 AO=CO O为线段AC中垂线上的点 ACE是等边三角形 AE=CE E为线段AC
