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1、2012高考立体设计理数通用版 3.4 导数的实际应用挑战真题1. (对应学生用书P39详解为教师用书独有) 1(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(
2、1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小2. (2009山东)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A
3、的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由解：(1)根据题意ACB90，ACx km，BC km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y(0x20)又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，所以0.065，解得k9，所以y(0x20)(2)因为y.由y0解得x4或x4(舍去)，易知4(0,20)y，y随x的变化情况如下表：x(0,4)4(4，20)y0y极小值由表可知，函数在(0,4)内单调递减，在(4，20)内单调递增，y最小值y|x4，此时x4.故在上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x4 km.2用心 爱心 专心
