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1、2010届高三数学模拟试题（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知直线与圆相切，则直线的倾斜角为（ ）（A）或 （B）或（C）或 （D）或（3）函数的图象大致是（ ）（4）给定性质：最小正周期为，图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质、的是（ ）（A） （B）（C） （D）（5）等差数列是递减数列，且，则数列的通项公式是（ ）（A） （B）（C） （D）（6）（理）在极坐标系中，点到直线的距离等于（ ）（A）1 （B）2 （C） （D）（文）不等式组
2、有解，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（7）把复数所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）（A） （B）（C） （D）（8）正四棱锥的两个侧面与互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为（ ）（A） （B） （C） （D）（9）某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（10）已知且，当时，均有，则实数的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）（11）展开式的第四项等于7，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）5（12）抛物线与直线交于两点
3、、，其中点的坐标是，设抛物线的焦点为，则等于（ ）（A）7 （B） （C）6 （D）5二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）若函数，则_.（14）圆锥的轴截面顶角满足，则其侧面展开图中心角的取值范围是_. （15）中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆两个焦点坐标是_. （16）设利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值_.三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤（17）（本小题满分12分）在中，、分别为角、的对边，. （I）求角的度数；（II）若，求和的值.（18）（本小题满分12分）已知二次函数，设方程有两
4、个实数根、. （I）如果，设函数的对称轴为，求证；（II）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围. （19）（本小题满分12分）如右图，直三棱柱的侧棱，底面中，（I）求点到平面的距离；（II）求与平面所成的角的正弦值；（III）（理）求二面角的大小.（20）（本小题满分12分）已知数列中，且对任意自然数都有，数列对任意自然数都有.（I）求证数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）设数列前项的和为，求的值. （21）（本小题满分12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为元、元、
5、元，且又这批海鲜在运输过程中的损耗为500元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等，试确定使用哪种运输工具总费用最省（题中字母均为正的已知量）（22）（本小题满分14分）如图，已知，动圆与、都外切（I）求动圆圆心的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（II）若直线与（I）中的曲线有两个不同的交点、，求的取值范围；（III）若直线的垂直平分（II）中的弦、，求在轴上的截距的取值范围答案与提示一、选择题：（1）D，.（2）A由数形结合，圆心为，直线过原点切于，则一条直线的倾斜角为，故另一切线的倾斜角为.（3）A先画出的图象，再向右平移1个单位，即得的图象. （4）D
6、由排除（A），由排除（B）、（C）（5）D由题设得，又是递减的，从而. .（6）（理）A化直角坐标方程，原点到直线的距离. （文）A不等式组有解（7）C设所求复数为，则（8）C正四棱锥相对两个面垂直，设底面正方形边长为，则其斜高为，侧棱长为，作出相邻两侧面所成二面角的平面角，易得其余弦值为.（9）A设女生有名，则，且当，其方法数不等于16，故，不同的选法有，解得. （10）C，作函数，的图象，使的条件为或.（11）B，.（12）A点在抛物线和直线上，抛物线为，直线，联立消去，得，. 又.二、填空题： （13）由，.（14），故.（15），由题意设椭圆方程为. ，两式相乘得. ，焦点为，.（16
7、）由题意可得因此三、解答题： （17）（I）由及，得. ，即. ，解得. ，. （II）由余弦定理，得. ，. 化简并整理得. 将，代入上式，得. 由方程组解得或（18）（I）设，且，由条件，得且. 即. 得. 由可得. . （II）由可知，即与同号. ，又，. 由即，代入有. （19） （I）由体积法可以求得点到面的距离为. （II）平面，过点做于，则平面，连，则为与平面所成的角. ，在中，. （III）（理）过作于，连，由三垂线定理. 是二面角的平面角，不难求得, 在中， ，即二在角的大小为.（20）（I）证明：，. , 是公比为的等比数列. （II），. 由得，解得. （III）.（21）解：设运输路程为（千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具分别运输时各自的总费用分别为（元），（元），（元）则由题意得 （3分） ，即 （6分）那么，中的最小值只可能是或 令，解得 当时，最小当时，最小答：当时，用火车运输总费用最小，（9分） 当时，用飞机运输总费用最省（12分）（22）（I）设的圆心，半径为，由题设，有，. 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为. （II）由方程组有. 因为直线与双曲线有两个不同交点，从而，有 . （III）设的中点，则. 又在上，. . 的垂直平分线的方程为：，即. 令，得截距，又，. .
