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1、逻辑联结词相关知识小结一、学习目标（1）了解“或”“且”“非”的复合命题的构成； （2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 （3）判断复合命题的真假。教学重点：判断复合命题的真假。教学难点：对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解二、知识精讲(一) 逻辑联结词1逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。2简单命题：不含逻辑联结词的命题。3复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p4逻辑联结词“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的关系：复合命题的构成与集合理论之间的关系 (1)复合
2、命题 p或q 设命题p所述范畴记为集合A 命题q所述范畴记为集合B 则复合命题：p或q所述范畴对应于集合AB，韦恩图如图1 (2)复合命题p且q 设：命题p所述范畴记为集合A 命题q所述范畴记为集合B 则复合命题：p且q所述范畴对应于集合AB，韦恩图如图2(3)复合命题：非P设命题P所述范畴记为集合A，全集为U，则复合命题非P所述范畴对应于集合CuA。韦恩图如图3 应用：命题：非(P或q)对应于集合Cu(AB)。而(非P)且(非q)对应于集合(CuA)(CuB)，由集合理论德摩根律： Cu(AB)=(CuA)(CuB)，可以清楚看到，使学生更加深刻地认识到：非(P或q)(非P)且(非q)的正确
3、性。例1、将命题：若x+y0 则x0或y0改变成否命题。解：其否命题为：若x+y0 则x0且y0例2、将命题：“菱形的对角互相垂直平分”改变成逆否命题。解：其逆否命题为：对角线不垂直或不平分的四边形不是菱形。（二）判断复合命题的真假 1“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p非p真假假真 2“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假3“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假 注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他
4、情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；4判断复合命题真假的步骤：（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假。三、难点分析关于非命题问题1： 怎样构造简单命题的非命题?非命题也叫命题的否定。非命题与原命题的真值相反。原命题为真，非命题为假；原命题为假，非命题为真。对量词和判断词的否定：判断词“是”的否定是“不是”；“有” 的否定是“没有”；“存在”的否定是“不存在”。量词“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一个” 的否定是“至少有一个不”； “都是”的否定是“不都是”即“至少有一个不
5、是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一个是”。对单称命题的否定只要直接否定判断词。如“3是正数”的非命题就是“3不是正数”。对全称命题的否定在否定判断词时还要否定全称量词变成特称命题。对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定。如“整数是有理数”就是全称命题“所有整数都是有理数”；它的非命题是“有的整数不是有理数”对特称命题的否定要否定特称量词变成全称命题。如特称命题“有的实数的平方不是正数” 的非命题是“所有实数的平方都是正数”；命题“所有的分数都是无理数”的非命题是“有的分数不是无理数”。问题2： 怎样构造复合命题的非命题?对复合命题的否定：“两个命题的或命题”的否定是这“两个
6、命题的非命题的且命题”；“两个命题的且命题”的否定是这“两个命题的非命题的或命题”。例如“3 1或 2 5或 25或 21”的非命题是”35且21”。该结论的逻辑表达式是：（1） 非（p或q）（非p）且（非q） （2）非（p且q）（非p）或（非q），这其实就是逻辑运算的摩根律；可用真值表证明如下：(1)非（p或q）（非p）且（非q）命题p命题qp或q非（p或q）非p非q（非p）且（非q）TTTFFFFTFTFFTFFTTFTFFFFFTTTT(2)非（p且q）（非p）或（非q）命题p命题qp且q非（p且q）非p非q（非p）或（非q）TTTFFFFTFFTFTTFTFTTFTFFFTTTT3 复
7、合命题“若P则q”形式的否定。 “若P则q”型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P则非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”. 4 含量词命题的否定。 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示）
8、；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样？ 在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表： 词语： 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定： 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语： 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定： 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立
9、存在有一个成立 5 命题的否定与否命题的区别。 命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：一，任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。二，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。原命题“若P则q” 的形式，它的否定命题在前面已讲过，命题”若P则q”的否定为“P则非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.；而它的否命题为“若非P，则非q”，（记为“若p，则q”）即是说既否定条件又否定结论。四、范例分析：例1写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其
10、真假性。 （1） 若xy,则5x5y。 （2） 正方形的四条边相等。 （3） 已知a,b为实数，若+ax+b0有非空实解集，则-4b0。 解：（1）的否定： 若xy，则5x5y。 假命题 否命题：若xy 则5x5y。 真命题 （原命题为：若xy则 5x5y。真命题） （2）的否定：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等。假命题 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题 （原命题是真命题） 。 （3）的否定：存在两个实数a,b，虽然满足+ax+b0有非空实解集，但使-4b0。假命题 否命题：已知a,b为实数，若+ax+b0没有非空实解集，则-4b0。真命
11、题 （原命题为：对任意的实数a,b, 若+ax+b0有非空实解集，则-4b0真命题） 例2 已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.分析 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解答:函数在R上单调
12、递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，函数在R上的最小值为，不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.例3 已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的，也能先猜后证，所找到的实数只需满足，且1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新
13、尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解答 已知条件即，或，或，已知条件即，或；令，则即，或，此时必有成立，反之不然.故可以选取的一个实数是，A为，B为，对应的命题是若则，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.例4 已知；是的必要不充分条件，求实数的取值范围.分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.解答 由得，由，得，即，或，而即，或；由是的必要不充分条件，知，设A=，B=，则有A，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得，此即为“是的必要不充分条件”时实数的取值范围.以上各例，意在表明“解不等式”一类的命题可以有哪些形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是以上命题的共同特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.用心 爱心 专心
