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1、高中数学必修第二册1 / 8 第四章综合测试 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分） 1. 已知函数lg 4fxx的定义域为M，函数0.54 x g x的值域为N，则MNI等于（） A.MB.NC.0,4D.0,+ 2. 函数 | | 31 x y的定义域为1,2，则函数的值域为（） A.2,8B.0,8C.1,8D.1,8 3. 已知 2 91 3log 2 x fx ，则 1f 的值为（） A. 1B. 2C.1D. 1 2 4. 2 1+log 5 2等于（） A. 7B. 10C. 6D. 9 2 5. 若1005 a ，102 b ，则2ab等于（） A. 0B
2、. 1C. 2D. 3 6. 比较 1 3.1 1.5、 3.1 2、 1 3.1 2的大小关系是（） A. 11 3.1 3.13.1 221.5B. 11 3.1 3.13.1 1.522 C. 11 3.1 3.13.1 1.522D. 11 3.1 3.13.1 21.52 7. 4839 log 3log 3log 2log 8等于（） A. 5 6 B. 25 12 C. 9 4 D. 以上都不对 8. 已知0ab，下面四个等式： lglglgabab；lglglg a ab b ； 2 1 lglg 2 aa bb ； 1 lg log10 ab ab 其中正确的个数为（） A.
3、 0B. 1C. 2D. 3 9. 函数 x ya（0a且1a）与函数 2 121yaxx在同一个坐标系内的图像可能是（） 高中数学必修第二册2 / 8 ABCD 10. 抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（） （参考数据：1 20.3010g） A. 6 次B. 7 次C. 8 次D. 9 次 11. 已知 11 3 log 2x， 1 2 2 2x， 3x 满足 3 33 1 log 3 x x，则 1 x ， 2 x ， 3x 的大小关系是（ ） A. 123xxxB.132xxxC.213xxxD.312xxx 12. 已知幂函数 2 2
4、 42 1 mm f xmx在0,上单调递增， 函数2 x g xk， 当1,2x时，记fx， g x的值域分别为集合A，B，若ABAU，则实数k的取值范围是（） A.0,1B.0,1C.0,1D.0,1 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13. 若函数fx的反函数为 12 fxx（0 x） ，则4 =f_。 14. 化简： 3265 36 263ababab _。 15. 已知0a，且1a，函数log232 ayx的图像恒过点P。若点P也在幂函数fx的图像上， 则=fx_。 16. 当, 1x时，不等式 2 420 xx mm恒成立，则实数m 的取值范围是 _。 三
5、、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17. （10 分） （ 1）计算： 2 2 2 lg2lg2 lg5lg2lg21； （2）已知 log2 a m ， lg 3 a n ，求 2 mn a 的值。 18. （12 分）已知1x且 4 3 x，1log 3 x fx，2log 2 x g x，试比较fx与g x的大小。 高中数学必修第二册3 / 8 19. （12 分）已知函数 1x fxa（0 x ）的图像经过点 1 2, 2 ，其中0a且1a。 （1）求 a 的值； （2）求函数1yfx（0 x）的值域。 20. （12 分）已知函数log1log1 aa fxxx ，0a且1a
6、。 （1）求fx的定义域； （2）判断fx的奇偶性并予以证明； （3）当1a时，求使0fx 的 x 的解集。 21. （12 分）芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健， 因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了了解行情，进行市场 调研， 从 4 月 1 日起， 芦荟的种植成本Q（单位： 元/10 kg）与上市时间t（单位： 天）的数据情况如下表： 上市时间（t）50110250 种植成本（Q） 150108150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系并求出函数 关系式：
7、Qatb； 2 Qatbtc； t Qa b；log b Qat 高中数学必修第二册4 / 8 （2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数 t及最低种植成本。 22. （12 分）已知函数 2 log x a fxat，其中0a且1a。 （1）当2a时，若fxx无解，求t的取值范围； （ 2）若存在实数m ， n（mn） ，使得,xm n时，函数fx的值域也为,m n，求t的取值范围。第 四章综合测试 答案解析 一、 1. 【答案】 C 【解析】由题意，得|4Mxx，|0Nyy，|104MNxxI 。 2. 【答案】 B 【解析】当0 x时， 0 min 310y，当2x时，
8、2 max 318y，故值域为0,8。 3. 【答案】 D 【解析】由 2 31 3log 2 x fx，得 2 31 log 2 x fx， 2 1 1log2 2 f。 4. 【答案】 B 【解析】 22 1+log5log5 22 22510。 5. 【答案】 B 【解析】由1005 a ，得2lg5a，由102 b ，得lg2b，2=1g5+1g21ab。 6. 【答案】 D 【解析】 3.1 1 3.1 3.1 1 1.5=1.5 1.5 ， 3.1 1 3.1 3.1 1 2=2 2 ， 又幂函数 3.1 yx在0 +，上是增函数， 11 2 21.5 ， 3.13.1 3.111
9、 2 21.5 。 7. 【答案】 B 高中数学必修第二册5 / 8 【解析】 48392233 11325 log 3log 3log 2log 8log 3log 3log 2log 2 23212 。 8. 【答案】 B 【解析】0ab， a ，b同号。当a ，b同时小于0 时不成立；当1ab时不成立，故只有 对。 9. 【答案】 C 【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图像过点0, 1，故排除 A、D；二次函数图 像的对称轴为直线 1 1 x a ，当01a 时，指数函数的图像单调递减， 1 0 1a ，C 符合题意； 当1a时， 指数函数的图像单调递增， 1 0 1
10、a ，B 不符合题意，故选C。 10. 【答案】 C 【解析】设至少抽x 次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则 160%0.1% x ，即0.40.001 x ， lg0.43x ， 33 7.5 lg0.42lg 21 x ，故选 C。 11. 【答案】 A 【解析】由题意，可知 3 x是函数 1 3 x y 与 3 logyx的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数 1 3 x y 与 3 logyx的图像，如图所示。由图像可知 3 1x， 而 11 3 log 20 x， 1 2 2 021x， 所以 321 xxx， 故选 A。 12. 【答案】 D 【解析】fx是幂函数，
11、2 11m，解得2m或0m。若2m，则 2 =fxx在0,上单调 递减，不满足条件。若0m，则 2 =fxx在0,上单调递增，满足条件，即 2 =fxx。当1,2x时， 1,4fx， 即1,4A； 当1,2x时，2,4g xkk， 即2,4Bkk。 ABAU， BA， 21k且44k，解得01k 。 二、 13. 【答案】 2 高中数学必修第二册6 / 8 【解析】设4fb，则 12 4fbb且0b，所以2b。即42f。 14. 【答案】4a 【解析】 211511 32651036 336622 263= 26344abababababababa。 15. 【答案】 1 2 x 【解析】设幂
12、函数为fxx 。因为函数log232yx的图像恒过点2,2P，则22，所 以 1 = 2 ，故幂函数为 1 2 fxx。 16. 【答案】1,2 【解析】原不等式变形为 21 2 x m m 。 因为函数 1 2 x y 在, 1上是减函数， 所以 1 11 2 22 x ， 当, 1x时， 2 1 2 x m m 恒成立等价于 2 2mm，解得12m。 三、 17. 【答案】（1）1 （2）12 【解析】（ 1）原式 2 =lg2 2lg2lg5lg22lg21 =lg2 lg2lg5|lg21|lg21lg21。 （2） （方法一）log 2 a m，2 m a。log 3 a n，3 n
13、 a。故 2 2 4312 mnmn aaa。 （方法二）log 2 a m，log 3 a n， 2log2 log 3log 12 2 12 aaa mn aaa 。 18.【答案】解： 33 1log 32log21loglog 44 xxxx fxg xx， 当 4 1 3 x 时，31 4 x， 3 log0 4 x x； 当 4 3 x时， 3 1 4 x， 3 log0 4 x x。 综上当 4 1 3 x 时，fxg x；当 4 3 x时，fxg x。 19. 【答案】（1） 1 2 （2）1,3 【解析】（ 1）因为函数 1x fxa（0 x）的图像经过点 1 2, 2 ，所
14、以 2 1 1 2 aa。 高中数学必修第二册7 / 8 （2）由（ 1）得 1 1 2 x fx（0 x） ，函数为减函数。 当0 x时，函数取最大值2，故0,2fx，所以函数 1 1 1101,3 2 x yfx x ，故函数 1yfx（0 x）的值域为1,3。 20. 【答案】（1）1,1 （2）见解析。 （3）0,1 【解析】（ 1）要使函数fx有意义，则需 10, 10, x x 解得11x 。故所求函数fx的定义域为1,1。 （2）fx为奇函数。 证明如下：由（1）知fx的定义域为1,1， 且log1log1log1log1 aaaa fxxxxxf x ，故fx为奇函数。 （3）
15、因为当1a时，fx在定义域1,1内是增函数，所以 1 01 1 x fx x ，解得01x 。所以使 0fx 的 x 的解集是0,1。 21. 【答案】（1） 213425 20022 Qtt （2）当芦荟上市时间为150 天时，种植成本最低为100 元 /10 kg 【解析】 （1）由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用 所给四个函数中任意一个来反映时都应有0a，而函数Qatb， t Qa b，logbQat均为单调函数， 这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数 2 Qatbtc。 将上述表格中的数据代入 2 Qatbtc， 可 得 1502
16、50050, 10812 100110 15062 500250. abc abc abc ，解 得 1 , 200 3 , 2 425 , 3 a b c 所 以 ， 芦 荟 种 植 成 本Q与 上 市 时 间 t的 变 化 关 系 为 213425 20022 Qtt。 高中数学必修第二册8 / 8 （2）当 3 2 150 1 2 200 t （天）时， 2 min 13425 150150100 20022 Q， 即当芦荟上市时间为150 天时，种植成本最低为100 元/10 kg。 22. 【答案】（1） 1 , 4 （2） 1 0, 4 【解析】（ 1） 2 22 log2log 2 xx tx无解， 2 22 xx t无解，等价于 2
