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1、第二章 数学归纳法及其应用举例,教学目标,重点难点,教学内容,随堂练习,课堂总结,课后作业,教学目标,（1）掌握数学归纳法的思想 （2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法,重点难点,重点：归纳法意义的认识和数学 归纳法产生过程的分析 难点：数学归纳法中递推思想的 理解,演绎推理,推理方法,归纳推理,(一般到特殊),(特殊到一般),完全归纳,不完全归纳,三段论,教学内容,(1) 不完全归纳法引例,明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归
2、纳推出的结论显然是错误的,有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明,(2) 完全归纳法对比引例,教学内容,例题引入,问题情境一:,问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题 2: 如果an是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ?,完全归纳法,不完全归纳法,模 拟 演 示,在等差数列an中，已知首项为a1，公差为d，那么 a1=a
3、1=a1+0d, a2 =a1+d =a1+1d, a3 =a2+d =a1+2d, a4 =a3+d =a1+3d, an=?,数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：,费马(1601-1665)法国伟大的业余数学家。,欧拉(17071783)，瑞士数学家及自然科学家。,问题情境二:,不完全归纳法,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.,归纳法:,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法,（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法,归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法,优点：考查全面，结论正确; 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查.,优点：
4、考查对象少，得出结论快; 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确.,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,多米诺骨牌课件演示,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.,（相当于能推倒第一块骨牌）,（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）,问题情境三:,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确； 假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论. 点
5、题,找准起点 奠基要稳,用上假设 递推才真,写明结论 才算完整,一、数学归纳法定义：,例1、是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,(1)数学归纳法证明等式问题：,二、数学归纳法应用举例：,(2)假设当n=k时结论正确,即:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时, =1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当
6、n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,(2)数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数
7、 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：,例1用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成
8、立。,例题讲解,证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1)d=a1, 当n=1时，等式成立,(2)假设当n=k时等式成立， 即 ak=a1+(k-1)d,则当n=k+1时,ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，等式也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,凑假设,结论,从n=k到n=k+1有什么变化,证明: (1) 当n=1时 左1，右121 n=1时，等式成立 (2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，当n=k+1时 左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k
9、+1 =(k+1)2=右 即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,例2.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2,练,习,用数学归纳法证明:,(1),（2）1+2+22+2n-1=2n-1,（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1,感悟与收获,(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行; (4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。,今 日 作 业,课本P27习题2.1第4题，第5题。,谢谢观赏 再见,谢谢观看！ 2020,
